[CN/EPCAR - Equação Irracional]

por castelo_hsi Qua 02 Fev 2022, 22:25

Se x satisfaz a equação $[CN/EPCAR - Equação Irracional] Gif$ , então o valor de x² está entre:

a) 55 e 65
b) 65 e 75
c) 75 e 85
d) 85 e 95
e) 95 e 105

gabarito:

por aitchrpi Qua 02 Fev 2022, 22:53

Seja a = (x+9)^(1/3) e b = (x-9)^(1/3). Então, a - b = 3 ---> (a - b)³ = a³ - b³ + 3ab(b - a) = 3³ = 27.

Mas a³ - b³ = x + 9 - x + 9 = 18, então 3ab(b - a) = 9. Agora, simplificando, -ab(a - b) = 3 ---> ab = -1, já que a - b = 3. Logo, elevando ao cubo dos dois lados, a³b³ = (x + 9)(x - 9) = (-1)³. Portanto, x² - 9² = -1, x² = 80. Será que eu errei alguma coisa?

por **Rory Gilmore** Qua 02 Fev 2022, 23:40

Uma outra solução mais longa para mostrar que o gabarito não confere, pois x² = 80.

[latex]\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3 \\ \\\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+9}=3+\sqrt[3]{x-9} \\ \\ \Leftrightarrow x+9 = 27+27\sqrt[3]{x-9}+9\sqrt[3]{(x-9)^{2}}+x-9 \\ \\ \Leftrightarrow 9+27\sqrt[3]{x-9}+9\sqrt[3]{(x-9)^{2}}=0 \\ \\ \Leftrightarrow 9y^{2}+27y+9=0 \\ \\ \Leftrightarrow y^{2}+3y+1=0 \\ \\ \Delta =9-4.1.1 = 5 \\ \\ y=\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \: ou\: y=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\ \\ x = -4\sqrt{5}\: ou\: x = 4\sqrt{5}[/latex]