Equação Irracional

por Matheus Vasconcelos Qua Jan 07 2015, 22:14

Sabendo que a e b são números reais positivos, resolva a seguinte equação

$\frac{{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} = \sqrt{b}$

por **Elcioschin** Qui Jan 08 2015, 11:52

Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador (que é o próprio numerador).
Desenvolva e isole o termo com raiz no 1º membro
Eleve novamente ao quadrado e chegará numa equação do 2º grau. Resolva.

por Matheus Vasconcelos Qui Jan 08 2015, 15:52

Elcioschin escreveu:Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador (que é o próprio numerador).
Desenvolva e isole o termo com raiz no 1º membro
Eleve novamente ao quadrado e chegará numa equação do 2º grau. Resolva.

Certo, poderia ver onde estou errando ?

1 passo: Criar condições de existência.
(I) x+a>0
x>-a

(II) x-a>0
x>a

De I e II temos que -a < x < a

(III) $\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x} \neq 0 --> \sqrt{a+x}\neq -\sqrt{a-x}--> a-x\neq a+x--> x\neq 0$

2 passo: Racionalizar
Ao racionalizar, achamos a seguinte equação:
$(b+1)x² - 2a\sqrt{b}x = 0$

Resolvendo está chego a duas raizes:
x' = 0 (Rejeitada)

x"= ( $2a\sqrt{b}$ ) / (b+1)

Bem agora temos que verificar para quais valores de b, x é valido.

Voltando as condições de existência:

$-a < x < a --> -a< \frac{2a\sqrt{b}}{b+1} < a --> -1< \frac{2\sqrt{b}}{b+1} < 1$

Ao resolver essa inequação, estou chegando a seguinte solução: $b\geq 0; b\neq 1$

Portanto, para mim a solução deveria ser: $b\geq0; b\neq 1 \Rightarrow s=\frac{2a\sqrt{b}}{b+1}$

Mas no gabarito encontro como solução: $b\geq 1 \Rightarrow s= \frac{2a\sqrt{b}}{b+1}$