Quadrado perfeito
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Quadrado perfeito
por aitchrpi Seg 24 Jan 2022, 14:37
Enunciado: encontre todas as soluções da equação x² = y(y + 1)/2 para x e y naturais.
O enunciado é equivalente a pergunta: para quais naturais N a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + N é igual a um quadrado perfeito? Eu só consegui achar duas soluções não triviais: (6, 8 ) e (35, 49), mas eu acho que existem mais (infinitas) soluções.
O enunciado é equivalente a pergunta: para quais naturais N a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + N é igual a um quadrado perfeito? Eu só consegui achar duas soluções não triviais: (6, 8 ) e (35, 49), mas eu acho que existem mais (infinitas) soluções.
Última edição por aitchrpi em Qua 26 Jan 2022, 22:45, editado 4 vez(es) (Motivo da edição : enunciado)
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 179
Data de inscrição : 05/03/2021
Idade : 15
Localização : Curitiba
Re: Quadrado perfeito
por Rory Gilmore Seg 24 Jan 2022, 19:41
x² = y(y + 1)/2 ⇔ 2x² = y² + y ⇔ y² + y - 2x² = 0
Olhando para a equação do segundo grau em y, vem:
∆ = 1 - 4.1.(-2x²)
∆ = 1 + 8x²
Então:
y' = [- 1 + √(1 + 8x²)]/2
ou
y'' = [- 1 - √(1 + 8x²)]/2
Os pares são da forma (x, [- 1 + √(1 + 8x²)]/2) ou (x, [- 1 - √(1 + 8x²)]/2) com x ∈ ℝ.
Olhando para a equação do segundo grau em y, vem:
∆ = 1 - 4.1.(-2x²)
∆ = 1 + 8x²
Então:
y' = [- 1 + √(1 + 8x²)]/2
ou
y'' = [- 1 - √(1 + 8x²)]/2
Os pares são da forma (x, [- 1 + √(1 + 8x²)]/2) ou (x, [- 1 - √(1 + 8x²)]/2) com x ∈ ℝ.
Rory Gilmore- Monitor
- Mensagens : 1860
Data de inscrição : 28/05/2019
Localização : Yale University - New Haven, Connecticut
aitchrpi gosta desta mensagem
Re: Quadrado perfeito
por aitchrpi Seg 24 Jan 2022, 21:39
Obrigado pela resposta, mas eu esqueci de mencionar que o exercício pede os pares (x, y) tais que x e y são naturais. Desculpa! O meu raciocínio foi igual ao seu, mas eu não consegui impor a condição pedida.
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 179
Data de inscrição : 05/03/2021
Idade : 15
Localização : Curitiba
Rory Gilmore gosta desta mensagem
Re: Quadrado perfeito
por Rory Gilmore Seg 24 Jan 2022, 22:09
É uma questão de algum livro ou vestibular? Se for, coloque a questão na íntegra sem alterar seu enunciado.
Rory Gilmore- Monitor
- Mensagens : 1860
Data de inscrição : 28/05/2019
Localização : Yale University - New Haven, Connecticut
aitchrpi gosta desta mensagem
Re: Quadrado perfeito
por aitchrpi Seg 24 Jan 2022, 22:18
É de algum livro de teoria dos números que eu li algum tempo atrás, eu não lembro de qual. Eu não tenho o enunciado na íntegra, mas eu tenho certeza de que era alguma coisa nessas linhas (o problema é precisamente igual, só a formulação diferente).
Emfim, eu tentei arrumar o enunciado e deixa-lo o mais compreensível que eu pude. valeu!
Emfim, eu tentei arrumar o enunciado e deixa-lo o mais compreensível que eu pude. valeu!
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 179
Data de inscrição : 05/03/2021
Idade : 15
Localização : Curitiba
Rory Gilmore gosta desta mensagem
Re: Quadrado perfeito
por aitchrpi Qua 26 Jan 2022, 22:44
Aparentemente esse problema é bem difícil, eu não consegui resolver. É simples chegar em 8n^2 + 1 = x^2, só que fica bem complicado achar as soluções. De qualquer forma, a resposta, encontrada por Euler, é
Se alguém se interessar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_triangular_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation
https://repositorio.ufrn.br/bitstream/123456789/14500/1/JoiceAD_DISSERT.pdf
Se alguém se interessar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_triangular_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation
https://repositorio.ufrn.br/bitstream/123456789/14500/1/JoiceAD_DISSERT.pdf
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 179
Data de inscrição : 05/03/2021
Idade : 15
Localização : Curitiba
Rory Gilmore gosta desta mensagem
Tópicos semelhantes» Quadrado perfeito
» Quadrado perfeito
» Quadrado Perfeito
» Demostracao sobre quadrado Perfeito
» Quadrado perfeito
» Quadrado perfeito
» Quadrado Perfeito
» Demostracao sobre quadrado Perfeito
» Quadrado perfeito
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
