Escalonamento de matrizes e os pivôs

De forma bem simplificada, a estruturação do escalonamento de matrizes deve ficar como indicado na sua imagem, pois dessa forma há muito o que se dizer acerca do sistema linear que pode ser extraído dessa matriz.

[latex]\\\mathrm{\begin{pmatrix} 1 &3 &2 &1 \\ 0 &1 &7 &8 \\ 0 &0 &1 &3 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\to \left\{\begin{matrix} x+3y+2z=1\\ 0x+y+7z=8\\ 0x+0y+z=3\\ 0x+0y+0z=1 \end{matrix}\right.}[/latex]

Se estivéssemos lidando com um sistema trivial, após o escalonamento, seria possível indicar se o mesmo era possível determinado, possível indeterminado ou impossível (sugira dar uma pesquisada sobre "discussão de sistemas" caso você ainda não conheça este tópico).

Uma outra forma de escalonarmos o sistema desse modo seria para facilitar a determinação das soluções do sistema, por exemplo:

[latex]\\\mathrm{\left\{\begin{matrix} x+3y+2z=45\\ 2x+y+z=37\\ x+2y+z=32 \end{matrix}\right.\to \begin{pmatrix} 1 &3 &2 &45 \\ 2 &1 &1 &37 \\ 1 &2 &1 &32 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 2 &1 &1 &37 \\ 0 &\frac{5}{2} &\frac{3}{2} &\frac{53}{2} \\ 0 &0 &-\frac{2}{5} &-\frac{12}{5} \end{pmatrix}\to \left\{\begin{matrix} 2x+y+z=37\\ 5y+3z=53\\ z=6 \end{matrix}\right.\to (x,y,z)=(12,7,6)}[/latex]

Note que se a configuração da matriz, após o escalonamento, fosse outra, a busca pelas soluções do sistema não seria eficiente.

Agora, se a sua dúvida for quanto as raízes históricas de onde vem esse método, honestamente, eu não sei responder (quem quiser responder sobre isso, manda ver ).