(UFF) Sistemas

Um grupo de 20 pessoas festejou a chegada do novo milênio ceando em um clube à beiramar. Cada mulher pagou R$50,00 a menos do que cada homem para ter direito à ceia. 

O total que o grupo pagou pela ceia foi R$ 1400,00, dos quais R$800,00 corresponderam à despesa dos homens. Nesse grupo havia, ao todo: 
(A) 4 homens 
(B) 6 homens
(C) 8 homens
(D) 10 homens  
(E) 12 homens

O grupo é formado por x homens, y mulheres e o valor pago pelos homens é z, então:
x + y = 20   (Soma das pessoas)                                
xz = 800      (Total do valor pago pelos homens)                                      
xz + (z - 50)(20 - x) = 1400  (Total pago por todos)

Manipulamos a última equação a seguir
xz + (z - 50)(20 - x) = 1400    ⇔*    20z + 50x = 2400    ⇔**    20xz + 50x² = 2400x    ⇔***    16000 + 50x² = 2400x    ⇔    x = 8   ou    x = 40 (não serve).
Assim, temos x = 8 homens.

* Na primeira equivalência substituímos xz por 800.
** Na segunda equivalência multiplicamos a igualdade por x.
*** Mais uma substituição de xz por 800.

Obrigado! Explicação excelente!