Quadriláteros

por wdsx Qua 19 Out 2011, 20:19

(OBM) um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A área do hexagono é 6m^2. Qual é a área do triângulo?

http://tinypic.com/view.php?pic=14bp6pk&s=7

a) 2m^2
b) 3m^2
c) 4m^2
d) 5m^2
e) 6m^2

por **Euclides** Qua 19 Out 2011, 22:25

Sendo a o lado do hexágono e b o lado do triângulo.

$\dpi{120} A_{hex}=\frac{3}{2}a^2\sqrt{3}\;\;\to\;\;a^2=\frac{2\times 6}{3\sqrt{3}}\;\;\to\;\;a^2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

o lado do triângulo é

$\dpi{120} 3b=6a\;\;\to\;\;b=2a$

a área

$\dpi{120} A_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\;\;\;\to\;\;A_{\Delta}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\;\;\to\;\;A_{\Delta}=2\,m^2$

por **Adeilson** Qua 19 Out 2011, 22:36

Inicialmente note que, sendo l o lado do triângulo equilátero e x a medida do lado do hexágono regular, temos que 3l=6x --> l=2x, por outro lado, a área o hexágono regular equivale a área dos 6 triângulos equiláteros de lado x, onde a área de cada triangulo equilátero é dada por x².sqrt{3}/4, assim a área do hexágono será 6.x².sqrt{3}/4. Do enuciado,
6.x².sqrt{3}/4 =6 --> x²=4/sqrt{3}, logo, a área "A" do triângulo será:
A=(2x)².sqrt{3}/4=4.x².sqrt{3}/4=[4.(4/sqrt{3}).sqrt{3}]/4=2 m² // "A"

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