Meia vida

A meia vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade, ou seja, é o tempo para que sua massa decaia 50% de um dado valor, a partir de um determinado momento. A meia vida do fósforo 32 é de, aproximadamente, 14 dias, ea função que permite calcular a massa M dessa substância, em função do tempo t, é representada algebricamente por M(t) = Mi·(0,5)t/14, com t real e maior que zero, e Mi correspondendo à massa inicial da amostra observada.

Considerando-se log 2 = 0,3, log 5 = 0,7, e uma amostra inicial com 5 gramas de fósforo 32, é correto afirmar que ela estará reduzida a 2 gramas, do início da observação, entre o

(A) 15º e o 16º dia.

(B) 16º e o 17º dia.

(C) 17º e o 18º dia.

(D) 18º e o 19º dia.

(E) 19º e o 20º dia.

Sei que a resposta é a letra D, mas queria uma explicação de como resolver.

Vamos lá substituindo Mi = 5 e M(t) = 2, temos:



Aplicando a propriedade do expoente, ou seja, podemos "tombar" o expoente para frente do logaritmo, vou aplicar também as propriedades do quociente:



Letra D. Espero ter ajudado! Qualquer dúvida à disposição.

Essa parte introdutória é mais explicativa, é só ele explicando como funciona a modelagem da fórmula.

A fórmula é: [latex]M(t)=Mi*0,5^{\frac{t}{14}}[/latex]

No enunciado ele já forneceu Mi=5 gramas; M(t)=2 gramas e ele quer o tempo em dias.

Substituindo tudo, ficaremos com:

[latex]2=5*0,5^{\frac{t}{14}} \Rightarrow \frac{2}{5}=0,5^{\frac{t}{14}} \Rightarrow log\left ( \frac{2}{5} \right )=log\left ( 0,5^{\frac{t}{14}} \right ) \Rightarrow log(2)-log(5)=\frac{t}{14}*log(\frac{5}{10})\Rightarrow 0,3-0,7=\frac{t}{14}*(log(5)-log(10)) \Rightarrow -0,4=\frac{t}{14}*(0,7-1) \Rightarrow t=\frac{-5,6}{-0,3}\cong 18,7 dias[/latex]

Vi agora que nosso ilustre colega Petrich já tinha postado a solução...mas, de toda forma, vou deixar a solução para agregar ainda mais seu aprendizado...Abraço a todos!