Movimento períodico

Considere um pêndulo consistindo de uma corda sem massa e uma massa presa em sua extremidade livre. Essa massa é mantida na horizontal e solta, fazendo uma trajetória circular. Depois que a massa passa pelo ponto mais baixo do pêndulo, começamos a medir o ângulo θ entre a corda e a vertical. Para que valor desse ângulo, se a corda for cortada, a massa terá viajado a maior distância horizontal ao chegar à altura que ela tinha quando foi solta?

Seja A o ponto de apoio da corda no teto, C o ponto mais baixo da trajetória circular e L o comprimento da corda.
Faça uma figura com a corda na horizontal e a massa m em B
Depois, com a corda fazendo um ângulo θ com a vertical que passa por A, após a massa passar por C

Nesta posição, a distância da massa ao segmento de reta vale d = L.senθ

Seja x a maior distância procurada:

x = L + L.senθ ---> Derivando ---> x' = L.cosθ

Para x ser máxima ---> x' = ---> L.cosθ = 0 ---> θ = 90º

Tens o gabarito?

Elcioschin escreveu:Seja A o ponto de apoio da corda no teto, C o ponto mais baixo da trajetória circular e L o comprimento da corda.
Faça uma figura com a corda na horizontal e a massa m em B
Depois, com a corda fazendo um ângulo θ com a vertical que passa por A, após a massa passar por C

Nesta posição, a distância da massa ao segmento de reta vale d = L.senθ

Seja x a maior distância procurada:

x = L + L.senθ ---> Derivando ---> x' = L.cosθ

Para x ser máxima ---> x' = ---> L.cosθ = 0 ---> θ = 90º

Tens o gabarito?

Não tenho o gabarito,mas poderia me explicar o porquê de usar derivada nesse caso?

A derivada de uma função, num determinado ponto do seu gráfico, nada mais é do que a tangente trigonométrica (tgφ) do ângulo φ entre a reta tangente à curva, neste ponto, e o eixo das abcissas. Isto é, tgφ é o coeficiente angular da reta tangente.

Quando reta tangente for paralela ao eixo das abcissas ---> φ = 0 ---> tgφ = 0
Isto significa que, neste caso, o ponto do gráfico é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

Na sua questão o eixo das abcissas é o eixo senθ e o eixo das ordenadas representa a distância horizontal x percorrida
Devido a isto, eu derivei, igualei a derivada a zero e calculei o valor de cosθ e θ

Mas nem é necessário usar derivadas; basta uma simples análise da questão

Como não existem perdas de atrito entre a corda e o suporte nem atrito com o ar, não existe perda de energia.
Assim, a massa vai conseguir alcançar a mesma altura, do outro lado do suporte A, estando  a corda novamente na horizontal.
Neste caso a máxima distância vale x = L + L ---> x = 2.L

Elcioschin escreveu:A derivada de uma função, num determinado ponto do seu gráfico, nada mais é do que a tangente trigonométrica (tgφ) do ângulo φ entre a reta tangente à curva, neste ponto, e o eixo das abcissas. Isto é, tgφ é o coeficiente angular da reta tangente.

Quando reta tangente for paralela ao eixo das abcissas ---> φ = 0 ---> tgφ = 0
Isto significa que, neste caso, o ponto do gráfico é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

Na sua questão o eixo das abcissas é o eixo senθ e o eixo das ordenadas representa a distância horizontal x percorrida
Devido a isto, eu derivei, igualei a derivada a zero e calculei o valor de cosθ e θ

Mas nem é necessário usar derivadas; basta uma simples análise da questão

Como não existem perdas de atrito entre a corda e o suporte nem atrito com o ar, não existe perda de energia.
Assim, a massa vai conseguir alcançar a mesma altura, do outro lado do suporte A, estando  a corda novamente na horizontal.
Neste caso a máxima distância vale x = L + L ---> x = 2.L

Muito obrigada mesmo