Coeficiente de Restituição

Boa noite!

Me deparei com a seguinte questão:

Uma bola de massa m, cai de uma altura H, com velocidade inicial nula, e colide com o solo. O coeficiente de restituição é r e a altura atingida pela bola no n-ésimo rebote é [latex]H_n[/latex]. (a) Mostre que, [latex] H_n = r^{2n} H[/latex] para [latex]n =1,2,3,...[/latex].(b) Se a bola percorre uma distância total D, antes de atingir o repouso depois de um tempoT, mostre que: [latex]D = \dfrac{(1+r^2)}{(1-r^2)}H[/latex] e [latex]T = \dfrac{1+r}{1-r} \sqrt{\dfrac{2H}{g}}[/latex].

Consegui fazer o item (a), mas o item (b) está difícil. Tentei colocar que a distância total D era [latex]D = Hr^2 + Hr^4 + ... + Hr^{2n-2}[/latex], multiplicar por [latex]r^2[/latex] e subtrair as expressões, mas está dando diferente. Alguma sugestão?

a) Antes da primeira colisão a bolinha cai de uma altura H. Após cada colisão ela sobe e desce uma altura Hn, que pode ser calculada encontrando a velocidade após a colisão e conservando a energia:
[latex] v_0 = \sqrt{2gh}
1^a \: Colisao:  r = \frac{v_1}{v_0} \rightarrow v_1 = r\sqrt{2gh}
2^a \: Colisao:  r = \frac{v_2}{v_1} \rightarrow v_2 = r^2\sqrt{2gh} \\ ... 
n^a \: Colisao:   r = \frac{v_n}{v_{n-1}} \rightarrow v_n = r^n\sqrt{2gh}
mgH_n = \frac{m(v_n)^2}{2} \rightarrow gh_n =\frac{r^{2n}2gh}{2} \rightarrow h_n = r^{2n}h [/latex]

b) Na primeira queda ela percorre uma distância H. Após a primeira colisão, sobe e desce r²H, e assim em diante:
[latex] D = H + 2Hr^2 + 2Hr^4 + ... \rightarrow D = H + 2H(r^2 + r^4 + ...) 
\rightarrow D = H + 2H(\frac{r^2}{1-r^2}) \rightarrow D = \frac{H - Hr^2 + 2Hr^2}{1 - r^2} 
\rightarrow D = H\frac{(1+r^2)}{(1-r^2)} [/latex]

O primeiro tempo de queda é o tempo de uma queda livre de altura H. Após isso, é o tempo de subida e descida após cada colisão, que é calculado da mesma forma que a primeira queda: 
[latex] T = t_0 + 2t_1+2t_2+... \rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}} + 2\sqrt{\frac{2H_1}{g}} + 2\sqrt{\frac{2H_2}{g}} + ...) 
\rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}} + 2\sqrt{\frac{2Hr^2}{g}} + 2\sqrt{\frac{2Hr^4}{g}} + ... \rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}}(1 + 2r + 2r^2 + ...) 
\rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}}(1 + \frac{2r}{1-r}) \rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}}(\frac{1+r}{1-r}) [/latex]