(EMPO - PR) Geometria Analítica

por murilonves Qua 05 Out 2011, 09:45

(EMPO - PR) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(1,3) e B(5,1). O ponto C pertencente ao eixo das abscissas para que AC + CB seja mínimo, é tal que sua abscissa é:

a) 3
b) 4
c) 5
d) 4,5
e) 3,8

por **Jose Carlos** Qua 05 Out 2011, 11:57

Temos:

d² (A,C) = ( xc - 1 )² + ( yc-3 )² -> yc = 0 -> xc² - 2*xc +10 (I)

d² (B,C) = ( xc - 5)² + ( yc - 1 )² -> xc² - 10*xc + 25 + 1 -> xc² + 25 (II)

(I) + (II) = 2*xc² - 12*xc + 36 -> xc² - 6*xc + 18

xc² - 6*xc + 18 = 0 -> parábola com concavidade voltada para cima.

o valor mínimo se dará no vértice da parábola:

xV = - b / 2*a = ( 6 )/2 = 3 -> xc = 3

por **hygorvv** Qua 05 Out 2011, 19:36

sendo o ponto C(x;0), temos:
AC=sqrt((1-x)²+(3-0)²) <-> AC=sqrt((1-x)²+9)
BC=sqrt((5-x)²+(1-0)²) <-> BC=sqrt((5-x)²+1)

AC+BC=sqrt((1-x)²+9)+sqrt((5-x)²+1)
AC+BC=sqrt(x²-2x+10)+sqrt(x²-10x+26)

Consigo resolver utilizando derivadas, dará x=4.

por **hygorvv** Qua 05 Out 2011, 23:30

Alternativa:

Marque o ponto D(5;-1). Note que este ponto é o conjugado do ponto B

a equação da reta que passa pelos pontos A e D é:
y+x-4=0

O ponto C está contido nesta reta.
sendo C(x_c;0)
substituindo:
0+x_c-4=0
x_c=4

Espero que seja isso e que te ajude

por **Jose Carlos** Sex 07 Out 2011, 10:37

Olá,

Minhas desculpas ao murilonves e meu agradecimento ao hygorvv pelas soluções, foi um grande vacilo meu pois não percebi o erro no raciocínio e no cálculo das distâncias.

Obrigado.

por Convidado Sex 30 Jun 2017, 15:50

hygorvv escreveu:Alternativa:

Marque o ponto D(5;-1). Note que este ponto é o conjugado do ponto B

a equação da reta que passa pelos pontos A e D é:
y+x-4=0

O ponto C está contido nesta reta.
sendo C(x_c;0)
substituindo:
0+x_c-4=0
x_c=4

Espero que seja isso e que te ajude

Como você deduziu que o ponto C está contido na reta?