Equação irracional

Determine a soma das raízes da equação 

∛(x+1) + ⁹√(x² + 2x + 1) + ⁹√(x+1) = 2



Gab: 11

Este é um problema de somas de Newton, mas acho que não precisa saber da teoria pra entender a solução  .

Seguinte, substituindo (x+1)^{1/9}=y, a equação vira
[latex]y^3+y^2+y-2=0[/latex]

Essa é uma equação de 3º grau e portanto tem 3 raízes, digamos, [latex]y_1, y_2, y_3[/latex] (não nos importamos se complexas ou não, não vai fazer diferença)
Agora, veja que cada uma dessas raízes gera exatamente uma raiz da equação original:
[latex]\sqrt[9]{x+1}=y_i \implies x=y_i^9-1[/latex], então a soma das raízes vai ser
[latex]x_1+x_2+x_3=y_1^9+y_2^9+y_3^9-3[/latex].
Agora vem o pulo do gato: para cada inteiro [latex]k[/latex], vamos chamar [latex]S_k=y_1^k+y_2^k+y_3^k[/latex] (queremos [latex]S_9[/latex]) e perceba que
[latex]
\begin{align*}
&{\small \begin{cases}
y_1^3+y_1^2+y_1-2=0\\
y_2^3+y_2^2+y_2-2=0\\
y_3^3+y_3^2+y_3-2=0
\end{cases}}
\implies
&\small{\begin{cases}
y_1^{k+3}+y_1^{k+2}+y_1^{k+1}-2y_1^k=0\\
y_2^{k+3}+y_2^{k+2}+y_2^{k+1}-2y_2^k=0\\
y_3^{k+3}+y_3^{k+2}+y_3^{k+1}-2y_3^k=0
\end{cases}}\\
\implies &y_1^{k+3}+y_2^{k+3}+y_3^{k+3}\\
&+y_1^{k+2}+y_2^{k+2}+y_3^{k+2}\\
&+y_1^{k+1}+y_2^{k+1}+y_3^{k+1}\\
&-2(y_1^{k}+y_2^{k}+y_3^{k})=0
\implies & S_{k+3}+S_{k+2}+S_{k+1}-2S_{k}=0
\end{align}
[/latex]
Isso significa que para calcularmos [latex]S_9[/latex], basta calcularmos cada [latex]S_k[/latex], com k menor que 9...
Na verdade, a parte mais dificil é calcular [latex]S_0, S_1, S_2[/latex], pois a nossa formula valer a gente precisa de 3 termos anteriores e precisamos começar de algum ponto, então vamo lá:
[latex]S_0=1+1+1=3[/latex]
[latex]S_1[/latex] é obtido simplesmente usando Girard (é menos o 2º coeficiente da equação original): [latex]S_1=-1[/latex].
Para calcular [latex]S_2[/latex], veja que 
[latex](y_1+y_2+y_3)^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3)[/latex],
sendo que a ultima parcela da soma é, por Girard, o 3º coeficiente: 
[latex]y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=1[/latex]
portanto
[latex]S_2=S_1^2-2=-1[/latex]
Usando a nossa formulinha:
[latex]S_3=-S_2-S_1+2S_0=2+6=8[/latex].
Agora é só ficar repetindo até chegar onde quer:
[latex]S_4=-S_3-S_2+2S_1=-9[/latex]
[latex]S_5=-S_4-S_3+2S_2=-1[/latex]
... muita conta cof ou uma calculadora online cof ...
[latex]S_9=80[/latex]
Portanto [latex]x_1+x_2+x_3=80-3=77[/latex]

lembrei de uma coisa, é importante ressaltar que as raizes são distintas entre si (se duas fossem iguais alguma delas seria raiz da derivada, mas nenhuma raiz da derivada é raiz da primitiva, ent todas são diferentes)

Se garante!