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por Perceval Qua 17 Mar 2021, 17:22

Se [latex]x^{12}+2x^6(1-2y^2)+1=0 [/latex]e x ∈ [latex]\mathbb{R}_-[/latex],então mostre que y<1.

por **Elcioschin** Qua 17 Mar 2021, 17:54

Deve haver erro no no enunciado ou no gabarito y < 1 ---> Vamos fazer y = 0

x^12 + 2.x^6 + 1 = 0 ---> (x^6 + 1)² = 0 ---> x^6 = - 1 ---> x não é real

Uma possível solução:

Temos uma equação do 2º grau na variável x⁶

Para x ser real devamos ter ∆ ≥ 0

[2.(1 - 2.y²)]² - 4.1.1 ≥ 0 ---> 16.(y²)² - 16.y² ≥ 0 ---> 16.y².(y² - 1) ≥ 0

y² - 1 ≥ 0 ---> Parábola com a concavidade voltada para cima com raízes y = -1 e y = 1

Ela é positiva externamente às raízes> y < - 1 ou y > 1

por Nickds12 Qua 17 Mar 2021, 18:45

Perceval escreveu:Se [latex]x^{12}+2x^6(1-2y^2)+1=0 [/latex]e x ∈ [latex]\mathbb{R}_-[/latex],então mostre que y<1.

x^12 + 2x^6 - 4x^6y^2 + 1 = 0
x^6(x^6)+ 2x^6 - 4x^6y^2 + 1 = 0
(2+x^6)(x^6) +x^6(-4y^2) + 1 = 0
(2+x^6-4y^2)(x^6) + 1 = 0

x = -1
3-4y^2 = -1
4y^2 = 4
y^2 = 1
y = +/- 1

por Perceval Qui 18 Mar 2021, 21:43

Elcioschin escreveu:Deve haver erro no no enunciado ou no gabarito y < 1 ---> Vamos fazer y = 0

x^12 + 2.x^6 + 1 = 0 ---> (x^6 + 1)² = 0 ---> x^6 = - 1 ---> x não é real

Uma possível solução:

Temos uma equação do 2º grau na variável x⁶

Para x ser real devamos ter ∆ ≥ 0

[2.(1 - 2.y²)]² - 4.1.1 ≥ 0 ---> 16.(y²)² - 16.y² ≥ 0 ---> 16.y².(y² - 1) ≥ 0

y² - 1 ≥ 0 ---> Parábola com a concavidade voltada para cima com raízes y = -1 e y = 1

Ela é positiva externamente às raízes> y < - 1 ou y > 1

Realmente eu acho que dever haver algum erro no enunciado. Eu também havia encontrado que y = ±1, daí eu resolvi postar aqui para confirmar. Valeu, pessoal!

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