Razão de semelhança

Dado um triangulo ABC traçam-se os pontos médios das medianas. Provar que o triângulo formado é semelhante a ABC e achar a razão de semelhança.



Gabarito: razão=1/4

Uma figura com informações, para ajudar:

usando o desenho do Élcio.

1. provar que o triângulo formado é semelhante ao ABC

Como os pontos D, E e F são médios das medianas do triâng. ABC, então os segmentos DE, EF e DF são paralelos respectiamente aos lados AB, BC e AC. E dois triângulos distintos que tenham todos os seus lados paralelos são semelhantes entre si pois terão os ângulos dos vértices iguais.

2. achar a razão de semelhança

O trecho das medianas do triângulo ABC que são internos ao triângulo DEF são medianas deste também. E o ponto O é baricentro comum aos dois triânjgulos.

Seja:
m = mediana AM do triâng. ABC
m' = mediana do triâng. DEF relativa ao vértice D. Portanto m' está contida em m.
Lembrando que o baricentro divide a mediana na razão 2 : 1 a partir do vértice -- resultando 2/3 dela para um lado e 1/3 para o outro -- temos:

DO = (1/2 - 1/3).m = (1/6).m
mas
DO = (2/3).m'
.: (2/3).m' = (1/6).m -----> m' = (1/4).m -----> m'/m = 1/4 = razão de semelhança

como a razão de semelhança relaciona lados homólogos das figuras, neste caso relacionamos as mediana.