Matemática Básica

por Bruna Ce Seg 11 Jan 2021, 13:32

Da lista de números (1, 2, 3, ... , 120), quantos são primos com 120?

a) 30
b) 31
c) 32
d) 33
e) 34

por **Elcioschin** Seg 11 Jan 2021, 14:05

120 = 2³.3.5

São (3 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 16 divisores positivos de 120:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24 30, 40, 60, 120

Por exemplo: 7, 9, 11, 13,.... são primos com 120

Complete

por **Medeiros** Seg 11 Jan 2021, 17:57

outro modo.

120 = 2³ . 3 . 5

n = 120*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 -1/5)

n = 120*(1/2)*(2/3)*(4/5) = 120*(1/3)*(4/5) = 40*(4/5) = 8*4 = 32

por **Vitor Ahcor** Seg 11 Jan 2021, 19:44

"Uma outra forma": (acredito q esse tbm foi o pensamento do Medeiros)

Defina n(2U3U5) a quantidade de números de 1 a 120 que são divisíveis por 2 ou 3 ou 5. Assim:

n(2U3U5) = n(2) + n(3) + n(5) - n(2Ո3) - n(2Ո5) - n(3Ո5) + n(2Ո3Ո5)

n(2U3U5) = n(2) + n(3) + n(5) - n(6) - n(10) - n(15) + n(30)

n(2U3U5) = 120/2 + 120/3 + 120/5 - 120/6 - 120/10 - 120/15 + 120/30

n(2U3U5) = 88

Daí, sendo n o número de primos com 120 temos:

n = 120 - n(2U3U5) = 120 - 88 .: n = 32.

por **Medeiros** Seg 11 Jan 2021, 22:59

Que boa resposta, Vitor!

Na verdade meu pensamento não foi tão refinado assim. Apenas aproveitei o conhecimento para achar o nº de polígonos estrelados possíveis dentro de um convexo de N vértices (ou lados). Isto requer saber quantos nºs são primos com N e menores do que N/2 -- a partir da metade os polígonos estrelados se repetem. Isto é dado pelo número de Euler (n) dividido por dois. Eu apenas usei sem dividir por 2.