Problema de geometria Diagonais e Vertices

Sabe-se que para certo polígono regular, seu número de diagonais é sétuplo do número de
vértices. Qual é esse polígono? Quantas de suas diagonais não passam pelo centro? Qual
a medida de cada ângulo externo?

d = n.(n - 3)/2 ---> I

d = 7.n ---> II

Ae = 360º/n ---> III

Olá!

Eu vi que o mestre Elcioschin já respondeu com um caminho para a resolução, mas acho interessante postar a resolução completa também.

O número de diagonais (d) de um polígono com n lados é:
[latex]d = \frac{n(n-3)}{2}[/latex]
Vale dizer que o número de lados também é o número de vértices para qualquer polígono.
Para chegar a essa fórmula é preciso algum conhecimento de combinação:

• escolher entre n vértices do polígono
  
• escolher entre n-3 vértices restantes (estão exclusos o próprio vértice e os dois adjacentes)
  
• dividir pela permutação, que é 2
  

Ou você pode desenvolver [latex]C_{n,2} - n[/latex], que dará o mesmo resultado.
Portanto:

n(n-3)/2 = 7n
n(n-3) = 14n
n(n-17) = 0
n = 0 ou n = 17
mas como não existe polígono com 0 lados, a figura da questão é um heptadecágono.

Como se trata de um polígono com número ímpar de vértices, todas as suas diagonais não passam pelo centro.

A medida de cada ângulo interno de um polígono regular é [latex]\frac{(n-2).180}{n}[/latex].
Para chegar nesse resultado, deve-se saber que todo polígono pode ser dividido em n-2 triângulos, traçando as diagonais de um único vértice. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180º, a soma dos ângulos internos do polígono regular é (n-2).180, e como os ângulos internos são idênticos, basta dividir o valor da soma pelo número de ângulos.
Como os ângulos externos são suplementares dos internos, a medida de cada externo é dada por:
180 - (n-2)180/n = 180 - 15.180/17 = 2.180/17 ≈ 21,17º

edit: acabei de ver na resolução do Elcioschin que cada ângulo externo é igual a 360/n, muito mais fácil que a trabalheira toda que eu fiz aqui. Mas deixarei como uma rota alternativa, embora não recomendável.

Espero ter ajudado!!