Vértices e Diagonais

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Vértices e Diagonais

Mensagem por Thaís_Fonseca em Ter Jun 14 2016, 19:04

Os números de lados de três polígonos são ímpares e consecutivos. Sabendo que juntos eles têm 46 diagonais, determine esses polígonos.
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Re: Vértices e Diagonais

Mensagem por estraveneca em Ter Jun 14 2016, 19:22

Pense da seguinte forma, sendo l lados e d diagonais:

4 l, 2 d
5 l, 5 d
6 l, 9 d
7 l, 14 d

A fórmula é, portanto: d=l(l-3)/2. Contudo, para não criar um monstro substituindo, l2 = l1 + 2 (por ser ímpar) e assim por diante, até encontrar várias equações, fica mais simples ver que o número de diagonais aumenta proporcionalmente, (3) + (4) + (5) + (6). Daí fica evidente que dá 5, 7 e 9 (5d1, 14d2, 27d3).

Contudo, não consegui relacionar matematicamente um algoritmo para partir dessa lógica, mas acharia muito legal se algum colega conseguisse transcrever o meu argumento para uma fórmula geral que não seja a que descrevi anteriormente, no caso de o número de diagonais fosse ser exorbitante.
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Re: Vértices e Diagonais

Mensagem por raimundo pereira em Ter Jun 14 2016, 19:44

Representemos os nrs ímpares e consecutivos por:
n , (n+2) , (n+4)
D=n(n-3)/2-->> fórmula para calcular o nr de diagonais de um polígono de n lados .
Assim :
D1=n(n-3)/2 , D2=(n+2)(n+2 -3 )/2, e D3= (n+4)(n+4-3)/2
D1+D2+D3=46--->(n²-3n)/2 + (n+2)(n-1)/2 + (n+4)(n+1)/2=46
n²-3n +n²+n-2 +n²+5n+4=92
3n²+3n+90=0
n=-3(+-)V9+1080)/6--->=-3(+-)V1089/6=(-3+33)/6=5

n=5--->pentágono
n+2=7--->eptágono
n+4=9--->eneágono
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