Análise Combinatória

(FADESP) Oito crianças são dispostas em duas rodas em salas A e B, cada roda com 4 [quatro] crianças. O número de modos diferentes de dispor as 8 [oito] crianças é
A 40320. B 70. C 630. D 2520. E 5040.
Gabarito: D.

Minha tentativa:
Oito crianças em duas rodas: (C_8,4.C_4,4)/2!
Permutação circular na roda A: (4 – 1) = 3!
Permutação circular na roda B: (4 – 1) = 3!
Assim, [(C_8,4.C_4,4)/2!].3!.3! = 1260


Ou seja, o resultado foi metade do gabarito oficial.
Por que não devo dividir pelo 2! ? Visto que quero montar duas rodas e acredito que a ordem não importa.

Desde já, agradeço.

Oi Renan!
Acredito que a ordem importa sim, de modo que não precisa dividir por 2!. Isso porque as salas A e B são diferentes, então ao formar uma roda com 4 crianças, colocar elas na sala A ou B geram configurações diferentes, e não iguais.

Você já está usando combinação exatamente porque a ordem não importa. A ordem vai importar na organização circular.

Nickds12, o que eu quis dizer com "ordem" é simplesmente a disposição dos grupos nas salas A e B.

Quando fazemos "C8,4.C4,4", a princípio temos uma repetição de caso, já que podemos escolher um grupo G1 (de 4 pessoas) ao fazer C8,4 e depois um grupo G2 (de 4 pessoas) ao fazer C4,4 e escolher o grupo G2 (de 4 pessoas) ao fazer C8,4 e depois um grupo G1 (de 4 pessoas) ao fazer C4,4. Na maioria das questões, a ordem de escolha dos grupos não importa (é a mesma coisa escolher primeiro G1 e depois G2 ou primeiro G2 e depois G1) e é por isso que tradicionalmente se divide a expressão por 2!.

Acontece que nessa questão, ter o grupo G1 na sala A e o grupo G2 na sala B é diferente de ter o grupo G1 na sala B e o grupo G2 na sala A, de modo que a para uma escolha de dois grupos de 4 (G1 e G2), teremos duas possibilidades de configuração dos grupos nas salas, de modo que não é necessário dividir por 2!.

Victor, estou quase entendo.

Por exemplo, veja essa questão: 
Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana.
O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é:
Comentário:
 O número de maneiras de formarmos 3 equipes de 3 pessoas é dado por:
(C9,3.C6,3.C3,3)/3! = 280


Nesse caso, a divisão por 3! é por que há repetição nos grupos formados, certo?
E no caso da questão da FADESP, não haveria essa repetição?

O entendimento da FADESP para mim é o correto. Esse tipo de resolução não faz o menor sentido a não ser que seja para a resolução pura e simples e você não tenha escolha. Inclusive já tinha visto essa questão da UFRJ.

Quando eu faço C(8-4),4, eu já suponho que houve distinção dos grupos que ficarão em 1 sala dos que ficarão na 2º sala. Esse entendimento errrado da UFRJ e de muitos professores é como se eu fizesse C8,4*C8,4/4!.

RenanMoraes escreveu:Victor, estou quase entendo.

Por exemplo, veja essa questão: 
Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana.
O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é:
Comentário:
 O número de maneiras de formarmos 3 equipes de 3 pessoas é dado por:
(C9,3.C6,3.C3,3)/3! = 280


Nesse caso, a divisão por 3! é por que há repetição nos grupos formados, certo?
E no caso da questão da FADESP, não haveria essa repetição?

Ao meu ver esse exemplo que você pegou que cita "grupos" é diferente desse que cita "salas" pelo fato das salas representarem um lugar (sala A e sala B), já os grupos não existe nenhuma diferenciação de categoria ou algo do gênero, então eles poderiam se tratados como iguais ou repetitivos, diferente das salas

superaks escreveu:

RenanMoraes escreveu:Victor, estou quase entendo.

Por exemplo, veja essa questão: 
Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana.
O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é:
Comentário:
 O número de maneiras de formarmos 3 equipes de 3 pessoas é dado por:
(C9,3.C6,3.C3,3)/3! = 280


Nesse caso, a divisão por 3! é por que há repetição nos grupos formados, certo?
E no caso da questão da FADESP, não haveria essa repetição?

Ao meu ver esse exemplo que você pegou que cita "grupos" é diferente desse que cita "salas" pelo fato das salas representarem um lugar (sala A e sala B), já os grupos não existe nenhuma diferenciação de categoria ou algo do gênero, então eles poderiam se tratados como iguais ou repetitivos, diferente das salas

Concordo superaks. A questão da FADESP pode ser enxergada como se fosse a questão tradicional de formar grupos, com um "adicional" de depois colocar esses grupos em salas. Ao fazer (C8,4.C4,4/2!) estamos apenas escolhendo os dois grupos de 4 como no exemplo citado pelo Renan, e dividimos por 2! porque a ordem da escolha dos grupos não importa, de modo que acaba tendo casos repetidos, como expliquei anteriormente. Depois, podemos colocar um dos grupos na sala A ou na B, de modo que temos duas possibilidades de configuração, e consequentemente o número de configurações total será: 2.(C8,4.C4,4/2!)  = C8,4.C4,4

Agora, um comentário que talvez mais irá atrapalhar do que ajudar kkkkkk: considerar as configurações de arrumação dos grupos nas salas, é a mesma coisa que considerar que a ordem de escolha dos grupos importa. Isso porque podemos pensar que o primeiro grupo de 4 pessoas escolhido irá para a sala A e o segundo grupo irá para a sala B. Sendo assim, escolher primeiro um grupo G1 e depois um grupo G2 é uma configuração diferente de escolher primeiro um grupo G2 e depois um G1. Como são casos diferentes, não consideramos eles como casos repetidos, de forma que não é necessário dividir por 2!.

Acredito que entendi. Farei mais exercícios para aprofundar o entendimento.
Obrigado Victor, Superaks e Nick!