Inequação Modular

por **abelardo** Qua 14 Set 2011, 17:55

Resolva a inequação: $\frac{1}{\log_{2}\ x}\leq \frac{1}{\log_{2}\sqrt{x+2}}$

Resposta --> $\ S=\left \{ x \in \mathbb{R}/0<x<1 \ \cup \ x\geq 2 \right \}$

O que fiz:

Condição de existência: $x \geq 0$ -- $x\neq 1$

$\frac{1}{\log_{2}\ x}\leq \frac{1}{\log_{2}\sqrt{x+2}}$

$\frac{1}{\log_{2}\ x}-\frac{1}{\log_{2}\sqrt{x+2}}\leq 0$

$\frac{\log_{2}\sqrt{x+2}-\log_{2}\ x}{\log_{2}\ x\cdot\log_{2}\sqrt{x+2}} \leq 0$

$\frac{\log_{2}\left ( \frac{\sqrt[]{x+2}}{x} \right )}{\log_{2}\ x\cdot\log_{2}\sqrt{x+2}} \leq 0$

A partir dai ei fiz o estudo do sinal de cada função e montei um quadro-solução.

Raiz de:
$\log_{2}\left ( \frac{\sqrt[]{x+2}}{x} \right ) \right )$ é 2.

$\log_{2}x$ é 1.

$\log_{2}\sqrt{x+2}$ é -1.

Quadro-solução feito ''artesanalmente'' (Mestre Euclides me indicou 3 programas para esse tipo de edição, mas sou tapado demais):

Inequação Modular Imagemgkw

Fazendo a intersecção com a Condição de Existência do logaritmando concluí que a solução da inequação é 1< X <2. Não bate com o gabarito.

por **Elcioschin** Qua 14 Set 2011, 19:42

Abelardo

Faltou incluir no quadro a condição x > 0

Neste caso 0 < x < 1 e x >= 2

por **abelardo** Qua 14 Set 2011, 21:42

??? Não entendi mestre!

por Leandro! Qui 15 Set 2011, 08:29

as condições de existência de um logaritmo são:

1)a base deve ser maior que zero e diferente de 1

2)o logaritmando deve ser maior que zero

é devido a essa segunda propriedade q x deve ser maior que zero

por **abelardo** Qui 15 Set 2011, 12:57

Isso eu sei Leandro. Veja que no início de minha resolução eu estabeleci a condição de existência dos logaritmos.

Veja que no final eu dei a minha solução 1< X <=2.

O que não entendi é que mesmo colocando no quadro-solução a condição de existência não altera a minha solução.

por Leandro! Sex 16 Set 2011, 09:24

o seu erro ocorreu no estudo de sinal do numerador, o logaritmo do numerador será positivo quando x maior que -1 e menor que 2.observe:

[raiz quadrada de (x+2)]/x maior ou igual a 1 (isso garante que onumerador seja positivo ou nulo)

[raiz quadrada de (x+2)] maior ou igula a x

-x² + x + 2 maior ou igual a zero

o logaritmo do numerador será positivo ou nulo quando x maior ou igual -1 e menor ou igual a 2

fazendo o estudo de sinais e eliminando os valores negativos de x (condição de existência do 1° logaritmo do denominador) bate com o gabarito. Pode verificar

concorda?achou a resposta?

por **abelardo** Sex 16 Set 2011, 10:34

Realmente, o seu estudo do sinal está correto leandro (Até plotei a função logarítmica do numerador no wolfram).

Inequação Modular Imagemiot

Só mais uma dúvida... se, para o logaritmo do numerador foi definido o intervalo -1 < x < 2, então posso substituir, como um simples teste, o número -0,5 em $\log_{2} \left (\frac{\sqrt[]{x+2}}{x} \right )$ .

$f(x)=\log_{2} \left (\frac{\sqrt[]{x+2}}{x} \right )$

$f(-0,5)=\log_{2} \left (\frac{\sqrt[]{-0,5+2}}{-0,5} \right )$

$f(-0,5)=\log_{2} \left (-2\cdot\sqrt[]{1,5} \right )$ ???? (O logaritmando fica negativo!!!)

por Leandro! Sex 16 Set 2011, 12:35

Abelardo, essa solução incluindo -1 é a solução da inequação do 2° grau que surgiu, ela serve apenas para fazer o estudo dos sinais,

mas é claro que depois deve-se eliminar os valores negativos devido ao fato de que uma fração com radical como numerador, deve ter denominador positivo para que a fração seja positiva e até mesmo pelo fato da condição de existência do 1º logaritmo do denominador que impõe que x seja maior que zero e seja diferente de 1

vc podia fazer o estudo dos sinais até mesmo sem os valores negativos devido a condição de existencia já citada acima, ou seja, vc já poderia ter dito que o numerador seria positivo quando x maior que zero e menor que 2 ao invés da condição que surgiu com a resolução da inequação do 2º grau

Entende?