Problema proposto

por math_estudos15 Dom 04 Out 2020, 16:36

O autor persa Al-Khowarizmi (780 – 850 d. C.) foi um notável matemático, astrônomo e geógrafo. Em seu livro Al-Jabr Wa´l Murãbalah, publicado antes de 850 d. C., apresentou a primeira solução sistemática das equações lineares e quadráticas. No quinto capítulo desse livro, o autor propõe o seguinte problema: “Divida 10 unidades em duas partes, de modo que a soma dos produtos obtidos multiplicando cada parte por si mesma seja igual a 58.” A diferença entre a maior parte e a menor parte, obtidas na resolução desse problema, é:
A 3
B 4
C 5
D 6
E 7

por encucado Dom 04 Out 2020, 18:32

Traduzindo o enunciado:

[latex]\begin{cases} x + y = 10 (I) \\ x^2 + y^2 = 58 (II) \end{cases} [/latex]

Considerando que x > y, o resultado será = [latex]x - y[/latex]

Elevando a equação (I) do sistema ao quadrado e depois multiplicando toda a equação por (-1), temos o sistema:

[latex]\begin{cases} -x^2 - 2xy - y^2 = -100 \\ x^2 + y^2 = 58 \end{cases}[/latex]

Somando as duas equações do sistema, temos a nova equação [latex]-2xy = -42[/latex], multiplicando por (-1): [latex]2xy = 42[/latex]

Isolando o x, temos que

[latex]x = \frac{21}{y}[/latex]

Substituindo o x na equação (I), vamos chegar em uma equação de segundo grau [latex]y^2 - 10y + 21 = 0[/latex], resolvendo por Bhaskara temos que y = 3 ou y = 7, mas como eu decidi que x > y, y = 3 e x terá que ser 7

Portanto x - y = 7 - 3 = 4

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