Equação logarítmica

por **abelardo** Dom 04 Set 2011, 12:12

Na equação $\log_{3}(4^{x}+15\cdot2^{x}+27)=2\cdot \log_{3}(2^{x+2}-3)$ , sei que o logaritmando do primeiro membro é positivo para qualquer valor de x. No segundo membro fiquei com dúvida:

Sei que $2\cdot \log_{3}(2^{x+2}-3)$ é o mesmo que $\log_{3}(2^{x+2}-3)^2$ . Se o logaritmando estiver elevado ao quadrado, então a única restrição é que seja diferente de zero.

Se, por exemplo, x for igual a -2, então $2 \cdot \log_{3} \(2^{-2+2}-3) =2 \cdot \log_{3} \ (1-3)=2 \cdot \log_{3} \ (-2)$ ????? O logaritmando está negativo. Ou isso não importa? É só transformar $2 \cdot \log_{3} \ (-2)$ em $\log_{3} \ (-2)^2$ e tudo se resolve?

por **Euclides** Seg 05 Set 2011, 00:39

$\dpi{120} \fn_cm \exists \log(-2)^2,\text{ porque existe }\log(4)\;\;\;\; \text{porém, }\nexists \;\;2\log(-2)$

$\dpi{120} \fn_cm \log (2^{x+2}-3)\;\;\;\exists,\;\;se\;\;2^{x}>\frac{3}{4}\;\;\to\;\;x>-0,415$

O que fiz a seguir, fiz direto na tela, por isso é melhor dar uma conferida:

$\dpi{120} \fn_cm \\\log_3(4^x+15.2^x+27)=\log_3(2^{x+2}-3)^2\\4^x+15.2^x+27=(2^{x+2}-3)^2\\2^{2x}+15.2^x+27=2^{2x+4} -2.3.2^{x+2}+9\\(2^x)^2+15.2^x+27-(2^x)^2.2^4+2.3.2^x.2^2-9=0\\\\2^x\to y\\\\y^2+15y+27-16y^2+24y-9=0\\-15y^2+39y+18=0\\-5y^2+13y+6=0$

$\dpi{120} \fn_cm \\y=-0,4,\;\;\;y=3\\\\2^x=-0,4\leftarrow \text{não dá}\\2^x=3\\\\x=\frac{\log 3}{\log 2}$