Questão de Série não Uniforme

Uma empresa obteve um financiamento para a expansão do seu fluxo de caixa
conforme a tabela a seguir:

Ano               0         1        2       3      4       5        6         7      8        9        10
Valor           100      50      50      0      0    −40    −40    −60   −60    −70    −70

Os valores estão em milhares de reais, as entradas de capital são consideradas positivas e as saídas, negativas.

Determine a taxa de juros ao ano.

Boa tarde!

Para resolver esse tipo de questão, tem que montar a equação de equivalência de fluxo de caixa na data mais futura possível.
Poderíamos fazer na data zero, mas teríamos que dividir cada termo para retornar pra data zero.
Levando para a data mais futura (último do fluxo de caixa), iremos só realizar contas de multiplicação, e já 'facilitamos' um pouco as operações.
Um pouco... pois obter a taxa é tarefa bastante árdua!

1) Calcular o fluxo de caixa na data 10, para uma taxa 'i' a ser descoberta, onde 'i' 'zera' o fluxo nesta data (aliás, zera em qualquer data)
100(1+i)^10+50(1+i)^9+50(1+i)^8-40(1+i)^5-40(1+i)^4-60(1+i)^3-60(1+i)^2-70(1+i)-70=0

Substituindo-se 1+i por x, para ficar mais 'simples':
100(x)^10+50(x)^9+50(x)^8-40(x)^5-40(x)^4-60(x)^3-60(x)^2-70(x)-70=0

Uma equação do 10o grau. Para obter suas raízes, vamos usar um método iterativo (Newton-Raphson).
Temos que montar a função iterativa dada por:
\varphi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}

Então, montando as funções f(x) e sua derivada, f'(x):
f(x)=100(x)^10+50(x)^9+50(x)^8-40(x)^5-40(x)^4-60(x)^3-60(x)^2-70(x)-70
e
f'(x)=1\,000(x)^9+450(x)^8+400(x)^7-200(x)^4-160(x)^3-180(x)^2-120(x)-70

Vamos, agora, tentar obter um valor que chegue 'próximo' de zero para o fluxo f(x).
Vamos tentar 5% e 10%, ou seja x=1+i, então:
x=1,05 e x=1,10

Para x=1,05:
f(1,05)=100(1,05)^10+50(1,05)^9+50(1,05)^8-40(1,05)^5-40(1,05)^4-60(1,05)^3-60(1,05)^2-70(1,05)-70
f(1,05)\approx -64,45

Para x=1,10:
f(1,10)=100(1,10)^10+50(1,10)^9+50(1,10)^8-40(1,10)^5-40(1,10)^4-60(1,10)^3-60(1,10)^2-70(1,10)-70
f(1,10)\approx 62,01

Isso indica existir uma raiz entre 5% e 10%.
Usando agora um processo iterativo, começando por 7,5% (média entre 5% e 10%)


Como x=1,078459, então:
1+i=1,078459\Rightarrow i=0,078459=7,8459\%

Espero ter ajudado!