Questão sobre serie infinita.

por **Leo Consoli** Qua Jan 09 2019, 15:18

A soma da serie infinita
$Questão sobre serie infinita. Gif.latex?1+%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D+%5Cfrac%7B7%7D%7B5%5E%7B2%7D%7D+%5Cfrac%7B10%7D%7B5%5E%7B3%7D%7D%20..$
é:
(A)35/16
(B)2
(C)15/7
(D)Indeterminada
(E)Infinita
Não tenho gabarito, achei 2 mais não sei se esta certo.

por **Mateus Meireles** Qua Jan 09 2019, 15:40

Olá, Leo

Essa é uma questão de PA-PG. Veja que há uma PA em cima e uma PG na parte de baixo. Basta chamar a expressão de S, multiplicar pela razão da PG e subtrair da expressão inicial.

S = 1 + \frac{4}{5} + \frac{7}{5^2} + \frac{10}{5^3} + ...

5S = 5\left(1 + \frac{4}{5} + \frac{7}{5^2} + \frac{10}{5^3} + ... \right)

5S = 5 + 4 + \frac{7}{5^1} + \frac{10}{5^2} + ...

4S = 8 + {\color{Red} \frac{3}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{3}{5^3} + ... }

O que está em vermelho é uma PG e sua soma vale 3/4

Daí,

4S = 8 + 3/4

S = 35/16

por **Giovana Martins** Qua Jan 09 2019, 15:47

Achei isso. Verifique os cálculos. Fiz meio na pressa.

\\\Phi =1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^2}+\frac{10}{5^3}+...\\\\\frac{\Phi }{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+...\\\\\Phi -\frac{\Phi }{5}=1+\underset{S_\infty}{\underbrace{\frac{3}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...}}=\frac{4\Phi }{5}\\\\S_\infty=\frac{\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\ \therefore \ \frac{4\Phi }{5}=\frac{3}{4}\to \boxed {\Phi =\frac{35}{16}}