Geometria Plana

por Bruna Ce Ter 31 Mar 2020, 17:24

As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números inteiros. Um dos catetos mede 15. Quantas são as possibilidades da área desse triângulo?

a) 1
b) 4
c) 2
d) 3
e) 5

Gabarito: letra B) 4

por **Medeiros** Ter 31 Mar 2020, 19:38

As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números inteiros. -----> então é um triângulo pitagórico.

Um dos catetos mede 15. -----> qualquer dos dois catetos. Não pode ser a hipotenusa.

Quantas são as possibilidades da área desse triângulo? -----> equivalente a saber quantos triângulos pitagóricos podemos ter com a restrição acima.

Os triângulos pitagóricos básicos que conheço -- e posso estar ignorando algum -- são:

3, 4, 5 --- ×3 ---> 9, 12, 15 .......... não serve porque 15 é a hipotenusa e não um cateto
........... --- ×5 ---> 15, 20, 25 ....... OK

5, 12, 13 --- × 3 ---> 15, 36, 39 ........ OK

7, 24, 25 ........... sem possibilidades de homotetia inteira para um cateto 15.

11, 60, 61 .......... idem anterior

13, 84, 85 .......... idem anterior

15, 112, 113 ......... OK

Resultado: encontrei apenas TRÊS triângulos diferentes.

por **Elcioschin** Ter 31 Mar 2020, 19:49

Outra solução:

a = hipotenusa, b, c catetos ---> c = 15

a² - b² = 15² ---> (a - b).(a + b) = 225

Pares de divisores naturais de 225 = 3².5²:

(1, 225), (3, 75), (5, 45), (9, 25), (15, 15)

Testando o 1º par e lembrando que a > 15 e a > b

a - b = 1
a + b = 225
--------------
2.a = 226 ---> a = 113 ---> b = 112 ---> OK

Continuando:

a - b = 3
a + b = 75
--------------
2.a = 78 ---> a = 39 ---> b = 36 ---> OK

a - b = 5
a + b = 45
--------------
2.a = 50 ---> a = 25 ---> b = 20 ---> OK

a - b = 9
a + b = 25
--------------
2.a = 34---> a = 17 ---> b = 8 ---> OK

a - b = 15
a + b = 15
--------------
2.a = 30 ---> a = 15 ---> b = 0 ---> Não serve

por **Medeiros** Ter 31 Mar 2020, 20:16

perfeito Élcio, esqueci o 8, 15, 17.

por jinviti Sex 03 Abr 2020, 19:49

Sabendo que as diagonais são perpendiculares, demonstre que a área do trapézio é :

https://

por jinviti Sex 03 Abr 2020, 19:49

Sabendo que as diagonais são perpendiculares, demonstre que a área do trapézio é :

https://

por **Elcioschin** Sáb 04 Abr 2020, 11:07

jinviti

Você não está repeitando as Regras do fórum:

1) Não é permitido "pegar carona" em questão existente para postar novas questões.

2) Não é permitida a postagem de links (Regar XI). Para postar figuras use tutorial do fórum: https://pir2.forumeiros.com/t541-colocar-imagens-no-seu-post

3) Você postou sua mensagem em duplicidade!

As questões foram apagadas.