Problema envolvendo bases de numeração

O número (41) na base 16 , quando escrito na base 10 possui o mesmo valor que um número de 7
algarismos , sendo que apenas dois deles não nulos , que está numa base arbitrária X . Sobre o valor de X^4 podemos afirmar que :

a) É um número múltiplo de 5
b) É um número múltiplo de 9
c) É um número cuja soma dos algarismos vale 9
d) É um número cuja soma dos algarismos vale 7
e) Faltam dados na questão

Gabarito : d )

(41)₁₆ = 4.16¹ + 1.16⁰ = 64 + 1 = 65

(1 0 0 0 0 0 1)₇ = 1.x⁶ + 1.x⁰ = x⁶ + 1 = 65 ---> x = 2

2⁴ = 16 ---> 1 + 6 = 7

Fiquei em dúvida, por que o senhor colocou essa combinação 1000001 ?

O número, na base x, tem 7 dígitos.
O dígito k da esquerda não pode ser 0: k pode ser 1, 2, 3, ...
Esta casa deverá ter x com expoente 6
Se x = 3 (por exemplo) 3^6 = 729 > 65 ---> x = 3 não serve.
A única solução é x = 2 ---> 2^6 = 64 ---> k = 1
Falta 1 para se obter 65 --> O 1 vai na casa da direita

Eu pensei no porque a combinação ser 1000001
Da seguinte maneira
Estando todas as possibilidades na base X
E sendo Z e Y os valores não nulos
ZY00000= Y•X^5+Y•X^6 = 65 = Primeira posição
Z0Y0000= Y•X^4+Z•X^6= 65 = Segunda posição
Z00Y000 = Y•X^3+Z•X^6= 65 = terceira
Z000Y00 = Y•X^2+ Z•X^6 = 65 = quarta
Z0000Y0 = Y•X+Z•X^6 = 65 = quinta
Z00000Y = Y•X^0 + Z • X^6 = 65 = sexta

Analisando, nenhuma das outras é possível , a não ser a última
Z00000Y = Y + Z • X ^6 = 65
Único valor possível para X = 2 . Sendo X= 2 , Y deve ser 1 e Z também deve ser 1. Interpretei a primeira resolução dessa forma