Teoria Cinética Gases PCPI2012

A molécula de Nitrogênio (N2) constitui cerca de 78%do ar atmosférico nas condições normais de temperatura e pressão, e possui massa molar M =0,028kg/mol. Considerando que R = 8,31J/(molK) e a constante dos gases ideais, a velocidade quadrática media Vrms das moléculas de N2 do ar na temperatura ambiente To = 20° C ≈ 300 K e dada aproximadamente por:
A
320 m/s
B
415 m/s
C
517 m/s
D
630 m/s
E
715 m/s


Gabarito letra C.

Minha dúvida é a seguinte: Como o N2 é distímico, eu usei a fórmula pra Energia igual a 5/2nRT. Porém, pelo gabarito, ele usou como se fosse monatomico E= 3/2nRT.

Quando usar cada fórmula? Há alguma evidência no enunciado que me permita usar a fórmula como se fosse monatomico?

Aplica nessa fórmula:


Vrms= √3RT/ √M
          = √3.8.3.300/ √0.028
           ≈517m/s

Sim, eu conheço a fórmula. Porém, o N2 é diatomico, não deveria usar a fórmula pra Energia 5/2nRT?

Cara, é o seguinte, tive que procurar uns artigos universitarios e estudá-los um pouco pra tentar te ajudar, pelo que entendi. 

Bom, a primeira afimação a fazer é que energia interna do gás não é a mesma coisa que a energia cinética deste, a menos que ele seja um gas ideal pois as partículas se chocam de maneira perfeitamente elástica e não perdem energia cinética e não é o caso, já que o nitrogenio atmosferico é um gás real. 

Então temos q achar essa fórmula por outro caminho. 
Sabemos que: Pressão= Força/Área. Se considerarmos um cubo verás que a área levada em questão seria L elevado ao quadrado. 

Se você fizer a Análise Dimensional da massa multiplicada pelo vetor velocidade das partículas no eixo x(eixo levado em consideração para a dedução da fórmula) ao quadrado dividido por L(aresta do cubo) e dividindo tudo isso pela área da face do cubo terás:

Força= massa.comprimento ao quadrado
                         ------------------------------
                               tempo ao quadrado
              ----------------------------------------= massa.comprimento
                                comprimento                  ---------------------  que é justamente a unidade de força(N )
                                                                    tempo ao quadrado
                                
Tendo isso em em mente faremos:                    
 Pressão(P)= m.Vx1²/L +mVx2²/L+...+mVxn²/L
                    ------------------------------------
                              L²(área da face do cubo)
coloquei até n pois sao n moléculas.

Pondo tudo isso em evidência de m/L:


P=m/L((Vx1)²+(Vx2)²+...+(Vxn)²)
    ----------------------------------
                       L²
                                        
   P=m/L³((Vx1)²+(Vx2)²+...+(Vxn)²)

Podemos substituir a soma: ((Vx1)²+(Vx2)²+...+(Vxn)²) por (Vx)²méd, que é o valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas. Então:

P=m/L³(Vx)²méd. 

e a massa do gás pode ser representada por número de mol(n) vezes a massa molar(M), logo:

P=nM/L³(Vx)²méd.

Se quiséssemos saber somente a pressão precisaríamos saber somente a velocidade media no eixo x(Vx),pois a pressão é medida pela área de uma só face, mas como queremos saber a velocidade media de todas as moléculas, necessitamos de incluir todas as componentes.
Para qualquer molécula, como existem várias e todas estão se movimentando de maneira aleatória então para calcular, temos que pegar os valores medios das componentes do quadrado das componentes das suas velocidades, que nem fizemos com a velocidade da molécula no eixo x, porém, agora estamos aplicando para todos os 3 eixos, ou seja, faremos:
 
V²=(Vx)²méd+(Vy)²méd+(Vz)²méd

Como as moléculas são iguais e mantêm um padrão de movimento aleatório com velocidades parecidas ,então podemos afirmar que todas as tres velocidades medias são iguais: (Vx)²méd=(Vy)²méd=(Vz)²méd.

3(Vx)²méd=V².

(Vx)²méd=V²/3

Aplicando na fórmula da pressão, temos que:


P=nM/L³(Vx)²méd.

P=nM/L³(V²/3)

Pronto! Agora é só notar que L³ é o volume do cubo estudado e fazer a seguinte substituição:

P=nM.(V²)
    ---  ----  ->P.Vol=nM(V²)
    Vol   3                 --------=nRT  -> V²=3RT
                                  3                         ----    -> V=√3RT/√M.
                                                              M
 
Ou seja, não importa a atomicidade do gás, a velocidade quadrática media(V)mrs desse, com ressalva para gases ideais como disse no começo, sempre será calculada pela equação deduzida acima.  

Tentei deixar detalhado ao máximo, mas se tiver alguma dúvida avisa que eu tento explicar melhor.

Entendi perfeito. Fiquei com a fórmula do Energia interna na cabeça e acabei confundindo tudo. Mas muito obrigado pela explicação. Foi esclarecedora!

Só de ressalva:

Para gás ideal monatomico, como desprezamos as interações. A energia interna é igual a cinética, por isso podemos pegar a fórmula da velocidade quadrática média usando a igualdade: (1/2)mv^2 = (3/2)nRT

Quando o gás é diatomico e passasse a considerar essas interações, em que há perda de energia cinética, não podemos usar a igualdade acima.

Outra dúvida, para gás diatomico, a fórmula para energia interna é U = (5/2)nRT certo?

Exatamente.