POTI - Álgebra

por goncalves02 Qua Dez 25 2019, 10:05

Se x^{12}+ 2x^{6}(1-2y^{2}) + 1 = 0 e x \in \mathbb{R} , então mostre que y<1.

por **Elcioschin** Qua Dez 25 2019, 10:12

x¹² + 2.(1 - 2.y²).(x⁶) + 1 = 0

(x⁶)² + 2.(1 - 2.y²).(x⁶) + 1 = 0

Temos uma equação do 2º grau na variável x⁶ com a = 1, b = 2.(1 - 2.y²), c = 1

Para x ser real devemos ter ∆ > 0 ---> ∆ = b² - 4.a.c ---> Complete

por goncalves02 Qua Dez 25 2019, 10:27

Entendi até o explicado, mas ainda não cheguei na conclusão que y<1 , desculpe mas você poderia me ajudar?

por **Elcioschin** Qua Dez 25 2019, 10:39

Mostre o passo-a-passo até onde você chegou.

por goncalves02 Qua Dez 25 2019, 12:08

Eu ao certo só consegui demonstrar que y= o, eu estou iniciando agora essa carreira olímpica, então o que eu quero demonstrar é que y<1, portanto de certa forma eu tenho que chegar a esse resultado, certo?

Eu, inicialmente pensei em resolver por Produtos Notáveis

(x^6+1)² = x^6 + 2.x^6. 1 + 1 = 0

Então 1-2y²= 1
e y=0, nesse caso y<1 , mas eu não deveria chegar ao um resultado em que já desse y<1, porque se não o exercício diria "mostre que y=0", certo?

Então precisava de ajuda

por **Elcioschin** Qua Dez 25 2019, 16:17

Você mostrou uma solução completamente diferente da minha.
Você não completou a minha solução como eu sugeri.

por goncalves02 Qua Dez 25 2019, 17:33

Desculpe, só comentei meu raciocínio

Resolvendo por equação do segundo grau:

∆= [2.(1-2y²)]² - 4.1.1
∆ = 4.(1-4y²+4y^4) - 4

∆ = 4 + 16y² - 16y^4 - 4
∆ = 16y²(1+y²)

- 1 ± 4y√1+y² / 2

Após isso, o que eu faço?

por **Elcioschin** Qua Dez 25 2019, 19:36

Você errou em sinal

∆= [2.(1 - 2.y²)]² - 4.1.1
∆ = 4.(1 - 4.y² + 4.y^4) - 4

∆ = 4 - 16y² + 16y^4 - 4
∆ = 16.y².(y² - 1)

Leia minha mensagem original e veja o que fazer.
Lembre-se que a raiz x⁶ não pode ser negativa.

Agora é contigo.

por EstudanteCiencias Qui Dez 26 2019, 05:31

Galera. Será que nao tem algo de errado com a questao?

Quando voce usa y=1, wolfram. Há solucoes reais.

Quando voce usa y=2, wolfram. Há solucoes reais.

Quando voce usa y=0,5, wolfram. Não há solucoes reais.

Por sinal, encontrei como solucoes y>=1 ou y<=-1. O que parece bater com os resultados do wolfram.

por **Elcioschin** Qui Dez 26 2019, 08:36

Certamente o gabarito está errado

∆ = 16.y².(y² - 1) ---> ∆ ≥ 0 ---> y² - 1 ≥ 0

Parábola com a concavidade voltada para cima ---> y ≤ -1 e y ≥ 1

x⁶ = {- 2.(1 - y²) ± √[16.y².(y² - 1)]}/2

x⁶ = [- 2.(1 - y²) ± 4.y.√(y² - 1)]/2

x⁶ = (y² - 1) ± 2.y.√(y² - 1)

Análise do sinal de x⁶:

Para x = ± 1 ---> x⁶ = 0 ---> OK

Para x = 2 ---> x⁶ = 3 ± 4.√3 ---> OK para sinal +

Para x = -2 --> x⁶ = 3 ± (-4).√3 ---> OK para sinal -