Geometria Plana - Valor da área sombreada

por NMS50 Seg 30 Set 2019, 20:33

A figura indica um triângulo equilátero ABC de lado unitário. Sabe-se ainda que r, s e t são retas paralelas, com A e B pertencentes a t, e C pertencente a r. Admitindo-se que s esteja se deslocando de r até t, e que x seja a distância entre r e s, a área sombreada na figura, em função de x, será igual a:
Gabarito: C

Geometria Plana - Valor da área sombreada Screen31

Geometria Plana - Valor da área sombreada Screen32

por **Emanoel Mendonça** Seg 30 Set 2019, 21:45

Seja J e G os vértices do triangulo branco menor dentro da área sombreada, O triângulo CJG é equilátero, o triângulo ASG é retângulo, A^GS = 60º , SÂG = 30º

tg 30º = SG / (√3/2) - x)

√3 / 3 = 2SG / (-2x + √3)

6.SG = -2x√3 + 3

SG = (-2x√(3) + 3) / 6

SG = (-x√3 / 3 + 1/2) (Base menor)

tg 30º = RC / (√3/2)

√3 / 3 = 2RC / √3

RC = 3 / 6 = 1/2 (Base maior)

A área pedia será 2x a área do trapézio retAñgulo RSCG pois ambos são idênticos devido a simetria da figura:

A = 2. (-x√3/3 + 1). x . (1/2)

A = (-√3)x²/3 + x