Polinômios - ITA (adaptado)

por Marcos Paulo D. Seg 22 Jul 2019, 15:17

Um polinômio P(x), dividido por x - 1 dá resto 3; e dividido por x - 2, dá resto 5. Determine o resto da divisão de P(x) por (x-1)(x-2):

a)15
b)x + 15
c)2x - 1
d)2x + 1

Gabarito: Bravo

por SanchesCM Seg 22 Jul 2019, 15:47

Um polinômio P(x), dividido por x - 1 dá resto 3; e dividido por x - 2, dá resto 5. Determine o resto da divisão de P(x) por (x-1)(x-2):

Dados do enunciado:
P(1)=3 e P(2)=5. Se P(X) está sendo dividido por um polinômio de 2° grau, então seu resto terá 1 grau a menos, logo P(X) pode ser expresso como:

P(X)=Q(X)+(x-1)(x-2)+a(x)+b

P(1)=Q(1)+(1-1)(1-2)+a(1)+b = 0+ a+b=3

P(2)=Q(2)+(2-1)(2-2)+a(2)+b = 2a+b=5

\left\{\begin{matrix}
a+ b =3\\
2a+b=5 & &
\end{matrix}\right.

a=2 \leftrightarrow b=1

r(x)=2x+1

Não bateu com o seu gabarito, então se alguém visualizar algum erro meu aqui, corrijam-me por favor.

por Marcos Paulo D. Seg 22 Jul 2019, 15:59

Opa, só não entendi o porquê você teve que colocar "(x-1)(x-2)" no polinômio "P(X)". Se puder explicar essa parte, ficaria muito grato!

por SanchesCM Seg 22 Jul 2019, 16:04

Opa, sem problemas, o que fiz foi basicamente utilizar o teorema do resto, que diz, a grosso modo, que se tu dividires o P(X) por um polinômio G(X), terás um quociente Q(X) e um resto R(X), deste modo:

P(X)=Q(x).G(x)+R(x)

Como nós dividimos P(x) por um polinômio g(x) = (x-1)(x-2), então teremos:

P(X)=Q(x).(x-1)(x-2)+R(x) , sendo o r(x) um polinômio sempre de grau inferior ao g(x), safo?