(IME) Trigonometria

por **alansilva** Qua 27 Mar 2019, 12:28

Considere $(IME) Trigonometria Gif$ com $(IME) Trigonometria Gif$ representando o produto dos termos desde $(IME) Trigonometria Gif$ até $(IME) Trigonometria Gif$ , sendo $(IME) Trigonometria Gif$ números inteiros. Determine o(s) valor(es) de $(IME) Trigonometria Gif$ , número real, que satisfaça(m) a equação $(IME) Trigonometria Gif$ .

m=23:

por **Robson Jr.** Qui 28 Mar 2019, 15:34

Essa é mais uma daquelas expressões com somatórios e produtórios que aparentam ser assustadores, mas desmontam se lidarmos com eles da maneira certa.

Vamos começar nos concentrando nos argumentos das funções tangentes. Repare que os argumentos do primeiro e do último fator do produtório somam 45°, isto é:

\frac{0*\pi}{180}+\frac{45*\pi}{180}=\frac{45\pi}{180}=\frac{\pi}{4}

Veja que a tendência se repete para qualquer par de termos equidistantes dos extremos do somatório. Para confirmar, basta tomarmos o i-ésimo termo e o (45-i)-ésimo termo:

\frac{i*\pi}{180}+\frac{(45-i)*\pi}{180}=\frac{45\pi}{180}=\frac{\pi}{4}

Essa é uma coincidência interessante. Vejamos o que acontece quando multiplicamos fatores do produtório que são equidistantes dos extremos, isto é, fatores com argumentos somando 45°.

\left ( 1+tgx \right )\left ( 1+tg(45^o-x) \right )=\left ( 1+tgx \right )\left ( 1+\frac{1-tgx}{1+tgx} \right )=2

Mistério resolvido: o produto de termos equidistantes dos extremos vale 2.

Para sabermos quantas vezes o 2 aparece, basta contarmos quantos pares de fatores há no produtório. Um rascunho basta:

k = 0 e k = 45

k = 1 e k = 44

k = 2 e k = 43

...

k = 22 e k = 23

Se vamos do 0 ao 22, temos 23 pares. Portanto, temos o produto de 23 termos iguais a 2.

\prod_{k=0}^{45}\left [ 1+tg\left ( \frac{k\pi}{180^o} \right ) \right ]=2^m \Rightarrow 2^{23}= 2^m \Rightarrow \boxed{m=23}