Progressão

(PUC-PR-2018) Considere, a seguir, os esboços das três primeiras figuras de uma sequência com infinitas construções geométricas.
 

O círculo da Figura 1 tem 7 dm2 de área. Cada um dos três círculos destacados na Figura 2 está inscrito em um dos losangos congruentes que compõem o hexágono regular que, por sua vez, é circunscrito por um círculo equivalente ao da figura anterior. A partir desses três círculos destacados na Figura 2, e exatamente da mesma forma com que foram construídos, foram obtidos os círculos em destaque na Figura 3.
Seguindo indefinidamente com esse padrão de construção, o limite da soma de todas as áreas sombreadas nas infinitas figuras dessa sequência será, em decímetros quadrados, igual a

R: 16

UP

Figura 1: S₁ = ∏.r₁²

Figura 2: r₂ = metade da altura do triângulo equilátero = r_1.√ 3/4
S₂ = ∏.r₂² = ∏.(r_1.√ 3/4)² =  ∏.r₁².3/16 = S₁.3/16

Figura 3: r₃ = 1/4 altura do triângulo equilátero = r_2.√ 3/16
S₃ = ∏.r₃² = ∏.(r_2.√ 3/16)² =  ∏.r₂².3/16 = S₂.3/16 = S₁.(3/16)²

{S₁, 3.S₂, 9.S₃...} = {S₁, 9/16 S₁, (9/16)²S₁...}

Portanto PG infinita com a1 = 7 e q = 9/16

Soma PG infinita = a1/(1-q) = 7 / (1-9/16) = 7 / (7/16) = 16