Equação Trigonométrica

por radium226 Sáb 02 Mar 2019, 15:18

Encontrar x em sen⁴x+cos⁴x=1/2
S={x pertence aos reais|x=π/4+kπ/2, k pertence aos inteiros}
Tentei dividir a igualdade por cos⁴x, mas chego em uma equação biquadrática de solução para y negativa

por **Giovana Martins** Sáb 02 Mar 2019, 15:33

A seguir, utilizarei uma identidade provada nesta postagem: https://pir2.forumeiros.com/t156088-determinante

\\sen^4(x)+cos^4(x)=1-\frac{1}{2}sen^2(2x)=\frac{1}{2}\to sen(2x)=\pm 1\\\\\therefore \ x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\ \vee\ x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}

Esta resposta equivale ao seu gabarito.

por marcosprb Sáb 02 Mar 2019, 15:43

Eu iria postar a minha solução, mas ela sumiu na hora que cliquei para publicar. Ainda bem, pois estava errada.
Bem interessante a sua solução, Giovana.

por **Giovana Martins** Sáb 02 Mar 2019, 15:46

Obrigada, Marcos.

Infelizmente não equivale, Marcos.

Da equação cos(2x)=-1/2, tem-se x=-pi/3+kpi ou x=pi/3+kpi, certo?

Para x=pi/3: sen^4(pi/3)+cos^4(pi/3)=1/2 → 5/8=1/2 (absurdo).

Para x=-pi/3, tem-se que 5/8=1/2 (absurdo).

Como a igualdade não foi verificada, naturalmente concluímos que as soluções de cos(2x)=-1/2 não são soluções da equação indicada no enunciado.

por radium226 Sáb 02 Mar 2019, 15:50

sensacional.

por marcosprb Sáb 02 Mar 2019, 16:04

Giovana Martins escreveu:Obrigada, Marcos.

Infelizmente não equivale, Marcos.

Da equação cos(2x)=-1/2, tem-se x=-pi/3+kpi ou x=pi/3+kpi, certo?

Para x=pi/3: sen^4(pi/3)+cos^4(pi/3)=1/2 → 5/8=1/2 (absurdo).

Para x=-pi/3, tem-se que 5/8=1/2 (absurdo).

Como a igualdade não foi verificada, naturalmente concluímos que as soluções de cos(2x)=-1/2 não são soluções da equação indicada no enunciado.

É verdade. Lamentei a minha pergunta assim que eu enviei, pois havia cometido um erro besta na resolução.

por **Giovana Martins** Sáb 02 Mar 2019, 16:06

Acontece

por radium226 Sáb 02 Mar 2019, 16:23

Desculpe eu ainda tenho uma dúvida sobre a solução. Em sen 2x=+-1 pode-se igualar 2x=π/2+kπ, então, x=π/4+kπ/2 (de acordo com a resposta). Mas em sen 2x=2sen x*cos x=+-1 tem-se sen x*cos x=+-1/2 elevando a igualdade ao quadrado sen²x(1-sen²x)=1/4 sen⁴x-sen²x+1/4=0, resolvendo a equação tem-se sen x=+-sqrt(2)/2, logo x=π/4+kπ ou x=3π/4+kπ o que não esta de acordo com a resposta (kπ não está dividido por 2). Por que o resultado incorreto?

por **Giovana Martins** Sáb 02 Mar 2019, 16:58

O resultado não está incorreto. A diferença é no primeiro caso você partiu de um arco duplo e no segundo caso, não. No primeiro caso você tem uma equação em sen(2x) e no outro, sen(x).

Para x=π/4+kπ/2:

k=0, x=pi/4
k=1, x=3pi/4
k=2, x=5pi/4
k=3, x=7pi/4
k=4, x=9pi/4
k=5, x=11pi/4

Para x=π/4+kπ e x=3π/4+kπ:

k=0, x=pi/4, x=3pi/4
k=1, x=5pi/4, x=7pi/4
k=2, x=9pi/4, x=11pi/4

Note que as soluções são as mesmas em ambos os casos.

Apenas tenha cuidado ao elevar, por exemplo, ambos os lados de uma equação ao quadrado, porque as vezes isso pode introduzir raízes falsas na equação original. Sempre que você elevar ambos os lados de uma equação, ao final, teste todas as soluções.