Demonstração de soma de arcos (Trigonometria)

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Demonstração de soma de arcos (Trigonometria)

Mensagem por W_Yuri em Seg 14 Jan 2019, 19:11

Adição e Subtração de arcos

As fórmulas são:

sen(α±β)= senα.cosβ ± senβ.cosα


cos(α±β)= cosα.cosβ ∓ senα.senβ


tan(α±β)= tanα ± tanβ/1 ∓ tanα.tanβ


Demonstração:


Inicialmente, sobrepomos um triângulo retângulo de ângulo α a um de ângulo β e hipotenusa 1 como na figura: 






Em seguida, pensemos no seno como a projeção da hipotenusa no cateto para o qual o ângulo olha, e o cosseno como a projeção no cateto colado ao ângulo.










No triângulo OBC, temos: OB=Cosβ e BC=Senβ.


No triângulo OAB, temos: OA=Cosα.hipotenusa = Cosα.Cosβ e AB=Senα.Cosβ.


No triângulo QBC, temos: BQ=hipotenusa.Senα = Senβ.Senα e QC=Senβ.Cosα.


Olhando agora para o triângulo OPC, temos: 






Sen(α+β)= PC/1 = AB+QC = Senα.Cosβ + Senβ.Cosα



Cos(α+β)= PO/1 = OA-BQ = Cosα.Cosβ - Senα.Senβ


Para a Tangente, dividimos uma pela outra:


Tan(α+β)= Sen(α+β)/Cos(α+β) = Senα.Cosβ + Senβ.Cosα/Cosα.Cosβ - Senα.Senβ (Dividindo em cima e embaixo por Cosα.Cosβ)


Tan(α+β)= tanα+tanβ/1 tanα.tanβ


Para as de subtração, escrevemos α-β = α+ (-β) e usamos paridade.
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Re: Demonstração de soma de arcos (Trigonometria)

Mensagem por Giovana Martins em Seg 14 Jan 2019, 20:07

Um outro jeito legalzinho de demonstrar as duas primeiras relações (soma de arcos para o seno e cosseno) é por números complexos.

\\e^{\theta i}=cos(\theta)+isen(\theta)=cis(\theta)\\\\cis(x)cis(y)=e^{xi}e^{yi}=e^{(x+y)i}=cis(x+y)\\\\\left [ cos(x)+isen(x) \right ]\left [ cos(y)+isen(y) \right ]=cis(x+y)\\\\\left [ cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y) \right ]+i[sen(x)cos(y)+sen(y)cos(x)]=cis(x+y)\\\\\therefore \ cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)=cos(x+y)\\\\\therefore \ sen(x)cos(y)+sen(y)cos(x)=sen(x+y)

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