Comprimento da corda

por **Giovana Martins** Sáb Jan 05 2019, 03:14

Eu achei essa questão legalzinha daí resolvi postar para quem quiser tentar resolver. Eu não tenho o gabarito dela, mas eu fiz de um jeito que eu acho que está correto.

Determine o comprimento da corda da parábola x²=4ay passando pelo seu vértice e que tem inclinação correspondente a tg(α).

A) 4acsc(α)cot(α) B) 4atg(α)sec(α) C) 4acos(α)cot(α) D) 4asen(α)tg(α)

A noite eu posto a minha resolução.

Spoiler:

por **Elcioschin** Sáb Jan 05 2019, 10:56

x² = 4.a.y ---> y = x²/4.a

Seja P(xP, yP) o ponto de encontro da reta que contém a corda, com a parábola

Derivando: y' = x/2.a ---> y' = tgα ---> x/2.a = tgα ---> xP = 2.a.tgα

yP = xP²/4.a ---> yP = (2.a.tgα)²/4.a ---> yP = a.tg²α

P(2.a.tgα, a.tg²α)

d = OP ---> d² = xP² + yP² ---> d² = 4.a².tg²α + a².(tg²α)² ---> d² = a².tg²α.(4 + tg²α)

d = a.tgα.√(4 + tg²α)

Não consegui chegar a nenhuma alternativa

por **Leo Consoli** Sáb Jan 05 2019, 11:16

Cheguei no mesmo que voce, so que fiquei com duvida se a inclinação valia α ou tg(α), considerei como α, fiz assim:
reta--->y=tg(α)x
parabola--->y=x^2/4a
Por trigonometria temos que o comprimento da corda(L) vale:
L=y-yo/sen(α)
tg(α)=sen(α)/cos(α)--->sen(α)=tg(α)cos(α)
1/cos(α)=sec(α)
L=(y-yo)sec(α)/tg(α)
Igualando as equaçoes da reta e da parabola:
x^2/4a=tg(α)x
x=4atg(α)
y=tg(α)4atg(α)
y=4atg^2(α)
Como o vertice da parabola é a origem do plano cartesiano yo=O e temos:
L=4atg^2(α)sec(α)/tg(α)
L=4atg(α)sec(α)

por **Giovana Martins** Sáb Jan 05 2019, 11:39

Vale tangente de alfa.

por **Giovana Martins** Sáb Jan 05 2019, 11:48

Minha resolução: vou usar θ em vez de α para não criar confusões.

A parábola tem seu vértice na origem A(0,0) e a corda AB tem suas extremidades nos pontos A(0,0) e B(x,y).

O ponto B(x,y) é da forma B(x,xtg(θ)) ou então B(x,x²/4a). Como trata-se do mesmo ponto:

\\y=xtg(\theta)\ \wedge\ y=\frac{1}{4a}x^2\\\\\left ( x,\frac{1}{4a}x^2 \right )=(x,xtg(\theta ))\\\\\frac{1}{4a}x^2=xtg(\theta )\to \frac{1}{4a}x=tg(\theta )\to x=4a tg(\theta )\\\\\left ( x,\frac{1}{4a}x^2 \right )=(x,xtg(\theta ))=(4a tg(\theta ),4a tg^2(\theta ))\\\\d_{A,B}=\sqrt{16a ^2tg^2(\theta )+16a ^2tg^4(\theta )}=\sqrt{16a ^2tg^2(\theta )[1+tg^2(\theta )]}\\\\=4a tg(\theta )\sqrt{sec^2(\theta )}=\boxed {4a tg(\theta )sec(\theta )}

por **Giovana Martins** Sáb Jan 05 2019, 11:52

Editei a minha resposta, Léo. Vale tangente de alfa.

por **Giovana Martins** Sáb Jan 05 2019, 11:58

Élcio, creio que o que deu errado na sua resolução foi a interpretação geométrica. Pelo enunciado, a tangente de alfa é o coeficiente angular da reta secante à parábola e não da reta tangente, daí igualar a derivada a tangente de alfa é um passo falho, uma vez que não sabemos se o coeficiente da reta tangente é o mesmo da reta secante.

por **Elcioschin** Sáb Jan 05 2019, 12:10

Você tem razão Giovana. Eis então uma solução bem simples

Parábola ---> x² = 4.a.y ---> y = x²/4.a ---> I

Reta suporte da corda ---> y = tgθ.x ---> II

I = II ---> x²/4.a = tgθ.x ---> x = 4.a.tgθ ---> abcissa do ponto P de encontro da reta com a parábola

y = tgθ.x ---> y = tgθ.(4.a.tgθ) ---> y = 4.a.tg²θ --> ordenada do ponto P

d = OP ---> d² = OP² ---> d² = x² + y² ---> d² = 16.a².tg²θ + 16.a².(tg²θ)² ---> d² = 16.a².tg²θ.(1 + tg²θ)

d² = 16.a².tg²θ.sec²θ ---> d = 4.a.tgθ.secθ