Equação logarítmica

por Eltonschelk Seg 31 Dez 2018, 17:20

Sejam x e y as soluções da equação

. Então, o valor de x . y é:
A) 1/2 ;
B) 4;
C) 1/4 ;
D) 2;
E) 3.

GAB: D. Alguém pode explicar?!

por **Giovana Martins** Seg 31 Dez 2018, 17:33

\\C.E.:\ x>0\\\\x^{log_2(x)}=4x\to \frac{x^{log_2(x)}}{x}=4\to x^{-1+log_2(x)}=4\\\\log_2\left [ x^{-1+log_2(x)} \right ]=log_2(2^2)\to \left [ -1+log_2(x) \right ]log_2(x)=2\\\\log_2(x)=\Psi \ \therefore \ (-1+\Psi )\Psi =2\to \Psi '=-1\ \vee\ \Psi ''=2\\\\log_2(x)=-1\to x'=\frac{1}{2}\ \wedge\ log_2(x)=2\to x''=4\\\\\therefore \ (x',x'')=(x,y)=\left ( \frac{1}{2},4 \right )\ \therefore \ \boxed {xy=2}

por **Elcioschin** Seg 31 Dez 2018, 17:54

Outro modo:

x^log₂x = 4.x ---> Aplicando log₂

log₂x.log₂x = log₂(4.x)

(log₂x)² = log₂4 + log₂x

(log₂x)² - log₂x - 2 = 0 ---> Raízes:

a) log₂x = -1 ---> x = 1/2
b) log₂x = 2 ----> x = 4

x.y = 2

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