PG - soma dos possíveis valores da razão

por Eltonschelk Seg 31 Dez 2018, 17:06

Três números x, y e z, não necessariamente nesta ordem, estão em progressão geométrica de tal modo que a sua soma é 19 e a soma de seus quadrados é 133. Nestas condições, a soma dos possíveis valores da razão dessa progressão geométrica é:
A) 13/6 ;
B) 2;
C) 11/6 ;
D) 13/4 ;
E) 1.

Gabarito: A.
Alguém pode explicar?!

por **Giovana Martins** Seg 31 Dez 2018, 17:25

Uma ideia. Talvez haja uma resolução mais simples.

\\x+y+z=19\to n+nr+nr^2=19=n(1+r+r^2)\to 1+r+r^2=\frac{19}{n}\\\\(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\\\\(19)^2=133+2(xy+xz+yz)\to n^2r+n^2r^2+n^2r^3=114\\\\\to n^2r(1+r+r^2)=114\to n^2r\left ( \frac{19}{n} \right )=114\to nr=6=y\\\\19=n(1+r+r^2)\to 19r=nr(1+r+r^2)\to 19r=6(1+r+r^2)\\\\\to r'=\frac{2}{3}\ \vee\ r''=\frac{3}{2}\ \therefore \ \boxed {r'+r''=\frac{13}{6}}

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