Triângulo

O gráfico mostra uma barra apoiada sobre a parede que logo resvala. Calcule a distância da trajetória dos baricentros dos triângulos que determina desde que apoiada até resvalar.(AB=12).

a)2pi/9
b)4pi/9
c)2pi/3
d)8pi/9
e)pi
r:d

Tentei sumarizar a situação na figura abaixo.


O segmento AB representa a escada na posição inicial e A'B' na posição final, depois que resvala na parede. Os pontos C e C' representam os baricentros dos triângulos OAB e OA'B' que caracterizam a situação inicial e final, respectivamente. 

O problema é achar o comprimento da trajetória (não linear, como veremos) de C até C', indicado na figura pela linha curva grossa entre esses 2 pontos. 

Se representamos por (0,b) e (a,0) os pontos nos eixos y e x, respectivamente, que caracterizam a escada num certo momento durante a trajetória, deve ser verdade que, dado que o comprimento da escada é 12, 
a²+b²=12²  (1)
Se usarmos o fato conhecido de que as coordenadas do baricentro podem ser obtidas pela média das coordenadas dos vertices do triângulo correspondente, teremos então que as coordenadas do baricentro serão definidas por (x,y)=(a/3,b/3), de onde concluimos que  
a=3x e b=3y.  


Substituindo esse último resultado em (1), percebemos que as coordenadas x, y do baricentro devem atender a
(3x)²+(3y)²=12²   ⇔  x²+y²=(12/3)²=4²
ou seja, os pontos da trajetória estarão num arco de um círculo, centrado na origem com raio 4.

O problema agora é obter o ângulo COC' que caracteriza esse arco circular da trajetória entre C e C´, que já sabemos que pertencem a um círculo com r=4 centrado na origem.

Mas se C é o baricentro do triângulo (retângulo) e OM é a mediana, pelas propriedades de medianas de triângulos retângulos (que partem do ângulo reto), é verdade que OM=AM=MB. Logo, o triângulo OMB é isóceles e os 
ângulos MBO=MOB=COB=80° graus. Quando o baricentro for C' teremos M'OB'=M'B'O=C'OB=40°, logo

m(COC') =40° (ângulo do arco COC')

Como o círculo tem raio r = 4 o comprimento da trajetória S será 

S=2 pi r 40/360= 2 pi 4/9 ou 

S= pi 8/9    (resposta d)