Função diferenciavel

por Isla Sex 01 Jul 2011, 08:14

Como possso mostrar que a função f(x,y)=\ sqrt x^2-y^2 é diferenciavel no ponto(1,-2) e use a melhor aproximação afim,nesse ponto para aproximar o vetor f( 1.02,-1.97).

Observação,não conseguir escrever em latex!

por Man Utd Sáb 05 Jul 2014, 11:56

Olá

Uma condição suficiente para garantir a derivabilidade(diferenciabilidade) em um ponto é que as derivadas parciais sejam continuas neste ponto.Então:

Veja que :

$\\\\\\ \frac{ \partial f(x,y)}{ \partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\\\\\\ \frac{ \partial f(x,y)}{ \partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Como as derivadas parciais são continuas em (1,-2), temos que $\\\\\\ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ é diferenciável no ponto (1,-2).

Para aproximar o valor de f(1.02 , -1.97) usaremos o plano tangente, isto é :

$\\\\\\ L(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\frac{ \partial f(x_{0},y_{0}) }{ \partial x}(x-x_{0})+\frac{ \partial f(x_{0},y_{0}) }{ \partial y}(y-y_{0})$

onde $\\\\\\ (x_{0},y_{0})$ será um ponto próximo de (1.02 , -1.97), vamos escolher então $\\\\\\ x_{0}=1 \;\;\;\wedge \;\;\; y_{0}=-2$ :

$\\\\\\ L(x,y)=f(1,-2)+\frac{\partial f(1,-2)}{\partial x}(x-1)+\frac{\partial f(1,-2) }{\partial y}(y+2) \\\\\\ L(x,y)=\frac{\sqrt{5}(x-2y)}{5}$

agora aplicando o ponto (1.02 , -1.97) :

$\\\\\\ \\\\\\ L(1.02,-1.97 )=\frac{\sqrt{5}(1.02-2(-1.97))}{5} \; \approx \; 2.21818$

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