Número Complexo e Polinômio

A área do polígono cujos vértices são as representações geométricas das raízes do polinômio p(x) = x⁶ - 1 é:

a) 3√3/2

b) 2√3/3

c) 3√2/2

d) 2√2/3

e)3√3/4

Eu encontrei essa resolução:



Quando fala em raiz de uma equação, eu imagino que y= 0. Foi uma das maiores dificuldades que eu tive quando estava tentando resolver a questão. Mas essa resolução traz números x que não zeram P(x). Então como eles podem ser raízes?
E como eu saberia que "as raízes sextas da unidade são números complexos cujo módulo é igual a 1"?

Obrigada!

Os vértices do hexágono são sim raízes de p(x). Se você jogá-las no polinômio você poderá comprovar isso. Se você fizer p(x)=0, você pode resolver a equação utilizando métodos (tipo Briot-Ruffini) que não utilizam a ideia de radiciação de números complexos. A utilização dos números complexos, nesse caso, foi feito para facilitar a resolução da questão dada a simetria do problema.

Nota: quando você estuda a parte de radiciação de números complexos é apresentada a ideia de que no plano de Argan-Gauss as raízes formam um polígono, daí que surge a intuição de utilizar números complexos.