COMBINATÓRIA
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COMBINATÓRIA
Em uma reunião o número de mulheres era o dobro do número de homens. Cada mulher cumprimentou as demais com dois beijos no rosto. As mulheres cumprimentaram os homens com um aperto de mão, assim como os homens entre si. A soma do número total de apertos de mão com o número de beijos foi 351. A quantidade de pessoas presentes à reunião é um número cuja soma dos algarismos é igual a:
(a) 2. (b) 4. (c) 6. (d) 8. (e) 9.
(a) 2. (b) 4. (c) 6. (d) 8. (e) 9.
Joabe Nunes- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 11/08/2018
Idade : 47
Localização : Nova Friburgo
Re: COMBINATÓRIA
Olá, eu pensei fazer desse jeito:
Total de mulheres = x
Total de homens = y
O total de beijos entre mulheres será dado por Cx,2 (pois ocorre apenas entre duas pessoas).
O total de aperto de mãos entre homens será dado por Cy,2
Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)
Como dito no enunciado: "o número de mulheres era o dobro do número de homens"
x = 2y, logo:
Beijo: C2y,2
Aperto H: Cy,2
Aperto H-M: C3y,2 - C2y,2 - Cy,2
A soma dará:
C2y,2 + Cy,2 + C3y,2 - C2y,2 - Cy,2 --> C3y,2 = 351
9y² - 3y = 2*351 --> y = 9
y = 9; x = 18 --> total = 27, logo 2+7 = 9
Desculpe caso eu tenha errado em algum cálculo, ou esteja incorreto, mas, por enquanto, acredito ser isso!
Total de mulheres = x
Total de homens = y
O total de beijos entre mulheres será dado por Cx,2 (pois ocorre apenas entre duas pessoas).
O total de aperto de mãos entre homens será dado por Cy,2
Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)
Como dito no enunciado: "o número de mulheres era o dobro do número de homens"
x = 2y, logo:
Beijo: C2y,2
Aperto H: Cy,2
Aperto H-M: C3y,2 - C2y,2 - Cy,2
A soma dará:
C2y,2 + Cy,2 + C3y,2 - C2y,2 - Cy,2 --> C3y,2 = 351
9y² - 3y = 2*351 --> y = 9
y = 9; x = 18 --> total = 27, logo 2+7 = 9
Desculpe caso eu tenha errado em algum cálculo, ou esteja incorreto, mas, por enquanto, acredito ser isso!
VesTeles- Mestre Jedi
- Mensagens : 609
Data de inscrição : 14/04/2017
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: COMBINATÓRIA
Sendo y o número de mulheres e x o número de homens, temos:
y=2x
Como cada mulher dá dois beijos em outra mulher, o número de beijos pode ser interpretado como:
2.\binom{y}{2}=2\binom{2x}{2}=\frac{2(2x)!}{2!(2x-2)!}=(2x)(2x-1)
O número de cumprimentos entre homens e mulheres, pelo princípio fundamental da contagem é o produto entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja:
xy = 2x.x = 2x²
Número de cumprimentos de homens entre si:
\binom{x}{2}=\frac{x!}{2!(x-2)!}=\frac{x(x-1)}{2}
O ideal seria somar esses 3 resultados e igualar a 351, porém a raiz dessa equação não está dando um número inteiro, mas eu tenho 90% de certeza que meu raciocínio está certo hahahaha, até testei com uns valores. Mas vou deixar assim mesmo caso alguém encontre um erro na minha resolução ou no enunciado da questão.
Como eu já tava escrevendo vou deixar assim mesmo VestTeles. Poderia me explicar como os cumprimentos entre homens e mulheres da minha resolução está errada ? E por que não considerou o numero de beijos sendo duas vezes a combinação do numero de mulheres tomadas dois a dois ? se elas são 2 beijos no rosto cada
y=2x
Como cada mulher dá dois beijos em outra mulher, o número de beijos pode ser interpretado como:
O número de cumprimentos entre homens e mulheres, pelo princípio fundamental da contagem é o produto entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja:
xy = 2x.x = 2x²
Número de cumprimentos de homens entre si:
O ideal seria somar esses 3 resultados e igualar a 351, porém a raiz dessa equação não está dando um número inteiro, mas eu tenho 90% de certeza que meu raciocínio está certo hahahaha, até testei com uns valores. Mas vou deixar assim mesmo caso alguém encontre um erro na minha resolução ou no enunciado da questão.
Como eu já tava escrevendo vou deixar assim mesmo VestTeles. Poderia me explicar como os cumprimentos entre homens e mulheres da minha resolução está errada ? E por que não considerou o numero de beijos sendo duas vezes a combinação do numero de mulheres tomadas dois a dois ? se elas são 2 beijos no rosto cada
Andre Ampère- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 152
Data de inscrição : 23/12/2017
Idade : 26
Localização : São Luís-MA, Brasil
Re: COMBINATÓRIA
De fato, eu fiz as contas e é a mesma coisa que considerar o produto da quantidade de homens e mulheres...VesTeles escreveu:
Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)
Andre Ampère- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 152
Data de inscrição : 23/12/2017
Idade : 26
Localização : São Luís-MA, Brasil
Re: COMBINATÓRIA
Então, no seu cálculo você tem que considerar o aperto de mão entre as mulheres e os homens, pois aconteceu os aperto de mãos entre os homens, beijos entre mulheres e os apertos de mão entra mulheres e homens.
Sobre os beijos, eu não considerei oque elas davam 2 beijos, estou tentando refazer, mas estou tendo, por enquanto, apenas resultados quebrados. Nos meus cálculos eu considerei apenas o encontro entre mulheres.
Eu tinha pensado assim (e não sei se está certo): A cada encontro uma mulher da dois beijos na outra, então, na Cx+y,2 já é considerado cada encontro das duas mulheres e cada aperto de mão entre homens. Por isso, eu subtrai Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2.
Acredito que meus cálculos estejam equivocados, mas como disse, eu também só estou tendo resultados quebrados.
Sobre os beijos, eu não considerei oque elas davam 2 beijos, estou tentando refazer, mas estou tendo, por enquanto, apenas resultados quebrados. Nos meus cálculos eu considerei apenas o encontro entre mulheres.
Eu tinha pensado assim (e não sei se está certo): A cada encontro uma mulher da dois beijos na outra, então, na Cx+y,2 já é considerado cada encontro das duas mulheres e cada aperto de mão entre homens. Por isso, eu subtrai Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2.
Acredito que meus cálculos estejam equivocados, mas como disse, eu também só estou tendo resultados quebrados.
- Tentativa:
Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 + 2*Cx,2 + Cy,2 --> Cx+y,2 + Cx,2, ou (considerando x = mulher e y = homem) --> C3y,2 + C2y,2
C3y,2 + C2y,2 = 13y² - 5y = 702 --> Resulta em números quebrados.
VesTeles- Mestre Jedi
- Mensagens : 609
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Localização : São Paulo
Re: COMBINATÓRIA
Andre Ampère escreveu:De fato, eu fiz as contas e é a mesma coisa que considerar o produto da quantidade de homens e mulheres...VesTeles escreveu:
Aperto de mão entre homens e mulheres será Cx+y,2 - Cx,2 - Cy,2 (combinação de homens + mulheres dois a dois, eu subtrai por Cx,2 e cy,2, pois nessa combinação também está incluído os apertos de mão entre homens e os beijos entre mulheres)
Estou tentando resolver o problema dois beijos, mas esse tá difícil kkk
VesTeles- Mestre Jedi
- Mensagens : 609
Data de inscrição : 14/04/2017
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: COMBINATÓRIA
Exatamente o que eu fiz kkkk, se considerar os dois beijos não dá inteiro...Queria saber de onde tiraram essa questão
Andre Ampère- Recebeu o sabre de luz
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Data de inscrição : 23/12/2017
Idade : 26
Localização : São Luís-MA, Brasil
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