Quantidade de divisores

Seja (m,n) um par de números inteiros não negativos tais que 25^m . 14^n tenha 125 divisores positivos. Os possíveis valores para a soma m+n são:
A)22,34 e 62
B)8. 26 e 32
C)12 e 26
D)6 e 62
E)10 e 34

Não tenho gabarito

p = 25^m . 14^n
p = 5^2m . 2^n . 7^n
p tem 125 divisores -----> (2m+1).(n+1).(n+1) = 125 = 5^3

1° caso:
2m+1 = 5 ----> m = 2
n+1 = 5 --------> n = 4
--> m + n = 6

2° caso:
observando-se que em 5^3 não existem os fatores 2 e 3, o que nos leva a n=0 e (14^n)=1
2m+1 = 125 -----> m = 62
--> m + n = 62

Muito obrigado por me ajudar, Medeiros

Olá Medeiros, tudo bem? A partir de que fórmula ou algo do tipo você resolveu essa questão? É que não consegui entender muito bem! Desde já, obrigada!

Ana
é uma propriedade dos divisores primos de um número.
Quantos são os divisores de um número? seja o número N o qual tem os divisores primos a e b. E podemos fatorar N em
N = a^m . bⁿ
Então a quantidade de divisores de N é dada pelo produto dos expoentes dos seus fatores primos acrescidos de 1, ou seja: x = (m+1).(n+1)

exemplo
seja o número N = 12
N = 2² . 3
a quantidade de divisores de N é
x = (2+1).(1+1) = 3 . 2 = 6
E sabemos que os divisores de 12 são {1, 2, 3, 4, 6, 12}, logo um conjunto de seis elementos, confirmando a fórmula usada.

No presente exercício considerei que havia um n° p tal que fatorado em fatores primos daria p=25^m.14ⁿ.
Portanto se p tem 125 divisores é porque os expoentes dos seus fatores primos atendem a
(2m + 1).(n + 1).( n + 1) = 125 = 5 . 5 . 5

OBS.: vejo agora que no 2° caso da resolução citei erradamente o primo 3 (que não faz parte dos fatores primos de p) quando o correto seria o 7. Vou editar em vermelho para corrigir.

Ficou claro? Abç.

Ficou claro sim! Muito obrigada, Medeiros!