Conjunto potência (ou conjunto de partes)

"Mostre que se A contém n elementos então P(A) contém 2^n elementos".

Gostaria de saber uma explicação, na linguagem matemática, para esta afirmação, pois fui em diversos sites e somente achei uma explicação através da árvore de possibilidades. Fiquei sabendo que tinha algo a ver com o axioma da potência, porém não consegui compreender bem.

Vamos dar um exemplo numérico, para você entender:

Seja A = {2, 4, 6} ---> n = 3

Lembre-se que o subconjunto vazio Ø é subconjunto de A

Número de elementos do conjunto de partes de A ---> n[P(A)] = 2ⁿ = 2³ = 8

Eis os 8 elementos:

Ø, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}

Entendido! Muito obrigado!
Se me permite, tenho mais dúvida: há alguma explicação pra se chegar ao 2^n? Em outras palavras, como chego a essa conclusão, sem o método de tentativa, mas por alguma lógica matemática? Penso que o 2 tenha alguma coisa haver com as duas possibilidades do elemento (de estar ou não contido, no conjunto), mas não tenho certeza se tem algo haver.

Sim, é bem fácil. Basta usar Binômio de Newton: Vou mostrar para este caso

(a + b)³ ---> Fazendo a = b = 1 ---> (1 + 1)³ = 2³ = 8

(a + b)ⁿ = 2ⁿ

Dúvidas esclarecidas, muitíssimo obrigado!

Explicando com mais detalhes:

Note que (a + b)³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³

Estes números em vermelho vem de:

C(3, 0) = 1 ---> C(3, 1) = 3 ---> C(3, 2) = 3 ---> C(3, 3) = 1

Fazendo a = b = 1 ---> (1 + 1)³ = 1 + 3 + 3 + 1 = 2³

Isto significa que:

a) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 0 a 0 ---> Isto é o conjunto vazio Ø ---> 1

b) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 1 a 1 ---> Isto é {2}, {4}, {6} ---> 3

c) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 2 a 2 ---> Isto é {2, 4}, {2, 6}, {4, 6} ---> 3

d) Devemos combinar os 3 elementos (2, 4, 6), 3 a 3 ---> Isto é o conjunto {2, 4, 6} ---> 1

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

E isto vale para qualquer expoente, inclusive n