Força elétrica resultante máxima

por Bbbrasil Ter 27 Mar 2018, 13:53

As duas cargas q da figura estão fixas à uma distância 2a, e a carga q' está posicionada de modo que as três cargas formam um triângulo isósceles. Para qual valor de h a força sobre q' tem valor máximo?

Força elétrica resultante máxima Img_2018

a) a / √2
b) 2a / √2
c) aq' / (√2 q)
d) aq / √2
e) aq / (√2 q')

Gabarito: Letra a

por **Willian Honorio** Qua 28 Mar 2018, 20:11

Evidentemente, buscamos uma função que forneça o valor da força resultante em q' em função de h, estabelecendo a, q e q' parâmetros constantes. Trace um segmento de reta que una as cargas q e q', cujo comprimento é, pelo Teorema de Pitágoras: (a²+h²)^(1/2). A Lei de Coulomb afirma-nos que a força de interação eletrostática entre duas cargas q e q' é diretamente proporcional ao módulo do produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento do segmento de reta que as une.

$\left |\vec{F} \right |=\frac{k.\left |q.q' \right |}{d^{2}}\\\\\text{Entre q e q':}\\\\\left |\vec{F} \right |=\frac{k.q.q'}{a^{2}+h^{2}}$

Chame α o ângulo formado entre a altura e o lado que une as cargas q e q' no triângulo isóscele. Pela relação trigonométrica depreendida:

$\cos \alpha =\frac{h}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}$

Como buscamos a força resultante em q', seja F1 e F2 as forças de atração ou repulsão entre as cargas q e q', e seja β o ângulo formado pelos dois vetores, temos, pela Lei dos Cossenos (para soma vetoriais):

$\left |\vec{F} \right |^{2}=\left |\vec{F_{1}} \right |^{2}+\left |\vec{F_{2}} \right |^{2}+2.\left |\vec{F_{1}} \right |^{2}.\left |\vec{F_{2}} \right |^{2}\cos\beta \\\\\left |\vec{F_{1}} \right |=\left |\vec{F_{2}} \right |\\\beta =2\alpha \\\\\left |\vec{F} \right |^{2}=2.\left |\vec{F_{1}} \right |^{2}+2.\left |\vec{F_{1}} \right |^{2}.\cos2\alpha =2.\left |\vec{F_{1}} \right |^{2}(1+\cos2\alpha )\\\\\left |\vec{F} \right |=\sqrt{2}.\left |\vec{F_{1}} \right |\sqrt{\left ( 1+\cos2.\alpha \right )}\\\\\cos2\alpha =2.\cos^{2}\alpha -1\\\\\left |\vec{F} \right |=\sqrt{2}\left |\vec{F_{1}} \right |\sqrt{1+2.\cos^{2}\alpha-1 }=2.\left |\vec{F_{1}} \right |.\cos\alpha$

Substituindo as expressões e tomando f como uma função em h:

$F(h)=2.\frac{k.q.q'}{a^{2}+h^{2}}.\frac{h}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}\\\\F(h)=\left [\frac{2.h}{\sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}}} \right ].k.q.q'$

Para maximizar F(h), temos de maximizar o termo:
$G(h)=\frac{2.h}{\sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}}}$

Para isso, buscarei o máximo desta função utilizando o Cálculo Diferencial, derivando e igualando a zero:

$G'(h)=\frac{\left (2.h \right )'\sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}}-\left [ \sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}} \right ]'.2h}{(a^{2}+h^{2})^{3}}=0\\\\\\\not{2}.\sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}}=\not{2}.h.\left [ \sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}} \right ]'\\\\\sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}}=h.\frac{\left [(a^{2}+h^{2})^{3} \right ]'}{2\sqrt{\left (a^{2}+h^{2} \right )^{3}}}\\\\2.(a^{2}+h^{2})^{3}=3.h.(a^{2}+h^{2})^{2}(a^{2}+h^{2})'\\2.(a^{2}+h^{2})=3.h.(0+2.h)\\2.a^{2}+2.h^{2}=6.h^{2}\\2.a^{2}=4.h^{2}\\\\\frac{a^{2}}{2}=h^{2}\\\therefore \\\boxed{h=\frac{a}{\sqrt{2}}}$

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