Pontos notáveis método alternativo resolução

por bernardolima12 Seg 26 Mar 2018, 12:05

O triângulo ABC da figura a seguir é isósceles de base BC. O ponto M é ponto médio do lado AB e AH é a altura relativa à base BC. Sabendo que o ângulo BÂH é 60° e o lado AB mede
10 cm, calcule o comprimento PH.

Eu usei a propriedade do triangulo isósceles que diz que a mediatriz,bissetriz,mediana e altura, em relação a base, coincidem. Eu gostaria de saber se existe outro método de resolução. Obrigado.

Pontos notáveis método alternativo resolução Asdasdas

Pontos notáveis método alternativo resolução Asdasdas

Gabarito: PH = 5/3 cm

por **Elcioschin** Seg 26 Mar 2018, 13:52

Você deveria ter postado o passo-a-passo da sua solução para outros usuários aprenderem contigo!

Seja BH = CH = a

AH = AB.cos60º ---> AH = 10.(1/2) ---> AH = 5

Resolvendo por GA, considerando B (0, 0) a origem:

H(a, 0), C(2.a, 0), A(a, 5), M(a/2, 5/2), P(a, yP)

Equação da reta AH ---> x = a
Equação da reta CM: m = - (yM - yC)/(xC - xM) = - (5/2 - 0)/(2.a - a/2) ---> m = - 5/3.a

y - yC = m.(x - xC) ---> y - 0 = (-5/3.a).(x - 2.a) ---> y = (-5/3.a).x + 10/3

Para x = a ---> yP = - 5/3 + 10/3 ---> yP = 5/3 ---> PH = 5/3

por bernardolima12 Seg 26 Mar 2018, 15:12

Opa, obrigado mestre. Tem como resolver essa questão por geometria plana mesmo ? (semelhança de triangulo, por exemplo). Mais duas coisas : O triagulo PHC é semelhante ao CMB ? (caso LAL -->BC com HC,M^CB e MC com PC ) e os triangulos AHC e PHC sao semelhantes ? Obrigado.

por **Elcioschin** Seg 26 Mar 2018, 18:48

Certamente tem jeito de fazer por Geo Plana.
O triângulo PHC é retângulo em H e o triângulo CMB não é retângulo: não são semelhantes

BÂB = CÂH = 60º ---> BÂC = 120º ---> A^BH = A^CH = 30º

Os triângulos PHC e AHC, embora retângulos não são semelhantes, pois tem ângulos agudos diferentes

AB = AC = 10 ---> AM = BM = 5 ---> AH = 5 ---> BH = CH = 5.√3

Use Lei dos cossenos em BMC e calcule MC, cos(M^CB)
Se quiser pode usar Lei dos senos

por **raimundo pereira** Seg 26 Mar 2018, 20:27

Outro modo:

Pontos notáveis método alternativo resolução Rai40111

por **Elcioschin** Seg 26 Mar 2018, 21:41

Raimundo

Houve uma inversão no cálculo de AH e BH:

AH = AB.cos60º ---> AH = 10.(1/2) ---> AH = 5 (e não 5.√3)

BH = AB.cos30º ---> BH = 10.(√3/2) ---> BH = 5.√3 (e não 5)