Determinar o ângulo y

por Cristina Lins Seg 12 Fev 2018, 00:45

O segmento CD da figura é uma mediana do triângulo ABC. Destacam-se ainda, nessa figura, quatro ângulos. Calcule y.
a) 105º
b) 99º
c) 115º
d) 111º
e) 95°

por vurfel! Seg 12 Fev 2018, 02:07

Antes de mais nada, note que x+y = 135° (Equação I)

Observe agora o triângulo ABC. Aplicando a Lei dos Senos, temos:
(2AD/sen45°) = (CB/seny) -> (AD/CB) = (sen45°/2seny) (Equação II)

Observe agora o triângulo CDB. Aplicando a Lei dos Senos novamente, temos:

(AD/sen(45-x)=(CB/sen135°) -> (AD/CB) = (sen(45-x)/sen135) (Equação III) (*AD=DB)

Igualando as equações II e III, vamos ter que:

(sen45/2seny) = (sen(45-x)/sen135)

Usando a Equação I, temos:

(sen45/2seny) = (sen(y-90)/sen135)

(1/4) = sen(y-90)seny

1/4 = -cosyseny
-1/2 - sen2y

y = 105°

Achei isso. Tem a resposta?

por Cristina Lins Seg 12 Fev 2018, 10:26

O, vurfel, bom dia
Tenho sim. Está correto. me enrolei no sen(45 - x) = sen (y - 90). Tinha x + y = 135, mas não me atentei que 45 - x = y - 90. Valeu, muito obrigada.

por vurfel! Seg 12 Fev 2018, 10:38

Então, a gente sabe que x+y=135 (conclui-se isso pela soma dos ângulos internos). Então, x=135-y e por isso vamos substituir o valor de x em sen(45-x):
sen(45-x)=sen(45-135+y)=sen(y-90).