Cone circular

por Keyla0712 Ter 30 Jan 2018, 12:13

Em um cone circular de vértice L, o raio de uma secção transversal mede metade do raio da base. Sendo V o volume do cone eT o volume do tronco das bases calcule a razão V/T.
Gabarito: 1/7

por Skyandee Ter 30 Jan 2018, 15:58

Chamei de h a altura do cone menor, H a altura do cone maior e r o raio da base do cone maior. Considerei V sendo o volume do cone maior...

\\HI=\frac{GC}{2} \Leftrightarrow HI=\frac{r}{2}\\\\\\\Delta LHI \sim \Delta LGC \Leftrightarrow \frac{LH}{HI}=\frac{LG}{GC } \Leftrightarrow \frac{h}{\frac{r}{2}}=\frac{H}{r} \Leftrightarrow H=2h\\\\\\ \therefore \boxed{LH=HG=h}\\\\\\\\V=\frac{\pi r^2H}{3}\Leftrightarrow V=\frac{2\pi r^2h}{3} \Leftrightarrow V=\frac{8\pi r^2h}{12}\\\\\\T=\frac{\pi h}{3}\left ( r^2+\frac{r.r}{2} + \frac{r^2}{4} \right ) \Leftrightarrow T=\frac{7\pi r^2h}{12}\\\\\\\\\frac{V}{T}= \frac{\frac{8\pi r^2h}{12}}{\frac{7\pi r^2h}{12}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{V}{T}=\frac{8}{7}}

Você chega ao gabarito calculando a razão entre o volume do cone menor (v) e o volume do tronco:

\\v=\frac{\pi \left (\frac{r}{2} \right )^2h}{3}\Leftrightarrow v=\frac{\pi \frac{r^2}{4} h}{3}\Leftrightarrow v=\frac{\pi r^2h}{12}\\\\\\T=\frac{\pi h}{3}\left ( r^2+\frac{r.r}{2} + \frac{r^2}{4} \right ) \Leftrightarrow T=\frac{7\pi r^2h}{12}\\\\\\\\\frac{v}{T}= \frac{\frac{\pi r^2h}{12}}{\frac{7\pi r^2h}{12}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{v}{T}=\frac{1}{7}}

por Keyla0712 Qui 15 Fev 2018, 09:30

Muito obrigada pela ajuda!!

por **Elcioschin** Qui 15 Fev 2018, 09:41

1) O colega Skyandee simplesmente usou a fórmula do volume o tronco de cone.

2) Fazendo o passo-a-passo das contas:

T = (pi.h/3).[r² + r.(r/2) + (r/2)²]

T = (pi.h/3).(r² + r²/2 + r²/4)

T = (pi.h/3).(4.r²/4 + 2.r²/4) + r²/4)

T = (pi.h/3).(7.r²/4)

T = 7.pi.r²/12

por Keyla0712 Qui 15 Fev 2018, 10:17

Entendi, obrigada pela explicação!!

por Skyandee Qui 15 Fev 2018, 17:48

Peço desculpas, eu deveria ter especificado e explicado melhor. Agradeço ao colega Elcio por complementar a resposta.

Keyla, você pode calcular o volume do cone maior e retirar o volume do cone menor, obtendo assim o volume do tronco:

\\T=V-v \Leftrightarrow T=\frac{1}{3}\pi r^2 (2h)-\frac{1}{3}\pi\left (\frac{r}{2} \right )^2 h\Leftrightarrow T=\frac{2\pi r^2 h}{3}-\frac{\pi r^2 h}{12} \Leftrightarrow \\\\\\T=\frac{8\pi r^2h - \pi r^2h}{12} \therefore \boxed{T=\frac{7\pi r^2h}{12}}

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