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Inscrição de sólidos

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Inscrição de sólidos Empty Inscrição de sólidos

Mensagem por Victor Luz Qui 25 Jan 2018, 12:11

Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida A da superfície da esfera.

Gabarito: A√A/(3∏√3∏)
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Inscrição de sólidos Empty Re: Inscrição de sólidos

Mensagem por Skyandee Qui 25 Jan 2018, 17:00

Okidoki...

Sendo R o raio da esfera circunscrita e l a aresta do cubo, temos, do enunciado:

A=4\pi R^2 \Leftrightarrow R^2=\frac{A}{4\pi} \therefore \boxed{R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{A}{\pi}}}\;(\mathrm{I})

Agora vamos ao cubo... Veja a imagem:

Inscrição de sólidos MTH0L2k

Note que o diâmetro é a diagonal do cubo... mas como essa diagonal equivale a l√3, temos:

 2R=l\sqrt3 \therefore  \boxed{l=\frac{2R}{\sqrt3}}

Agora podemos calcular o volume V do cubo...

 V=l^3 \Leftrightarrow V=\left (\frac{2R}{\sqrt3}  \right )^3 \therefore \boxed{V=\frac{8R^3}{3\sqrt3}}\;(\mathrm{II})

Por fim, substituindo (I) em (II), temos:

\\V=\frac{8R^3}{3\sqrt3} \Leftrightarrow V=\frac{8 \left ( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{A}{\pi}} \right )^3 }{3\sqrt3} \Leftrightarrow V=\frac{8\left ( \frac{A\sqrt A}{8\pi\sqrt\pi} \right )}{3\sqrt3} \Leftrightarrow \\\\\\ \Leftrightarrow V=\frac{1}{3\sqrt3}\,.\,\frac{A\sqrt A}{\pi\sqrt\pi} \therefore \boxed{V=\frac{A\sqrt A}{3\pi\sqrt{3\pi}}}

Espero que tenha ficado claro, sir.
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