Semelhança de triângulo

por Augusto ALmeida Qua 17 Jan 2018, 11:46

A Hipotenusa AB de um triangulo ABC é dividido em quatro segmentos congruentes G, E e H, de modo que AG=GE=EH=HB. Se AB=20, determine o valor de CG² + CE² + CH²

Resposta: 350

por **Euclides** Qua 17 Jan 2018, 20:52

por Augusto ALmeida Qua 17 Jan 2018, 21:45

Obrigado!

por evandronunes Qua 17 Jan 2018, 23:39

Uma outra solução.

Seja ABC um triângulo retângulo qualquer, com catetos AC = a e BC = b.

Como auxílio veja a figura abaixo.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que a² + b² = 400.

Temos que a mediana relativa à hipotenusa é a metade desta, logo CE = 10.

Seja CG = x e CH = y.

Considere o triângulo isósceles AEC e seja \alpha = AÊC.

Usando a Lei dos Cossenos nos triângulos GEC e AEC, temos, respectivamente:

x^2=100+25-100.cos( \alpha) e a^2=100+100-200.cos( \alpha)

Isto é,

x^2=125-100.cos( \alpha) e cos( \alpha)= \frac{200-a^2}{200}

Logo,

x^2=125-100.\frac{(200-a^2)}{200}

x^2=25+\frac{a^2}{2}

Utilizando o mesmo raciocínio no triângulo isósceles CEB, temos que y^2=25+\frac{b^2}{2}.

Assim,

(CG)^2+(CE)^2+(CH)^2=25+\frac{a^2}{2}+100+25+\frac{b^2}{2}

(CG)^2+(CE)^2+(CH)^2=150+\frac{a^2+b^2}{2}

(CG)^2+(CE)^2+(CH)^2=150+\frac{400}{2}

(CG)^2+(CE)^2+(CH)^2=350

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