Gradiente5

Olá.

Calcular o montante e o valor atual de 10 aplicações mensais , variáveis de acordo com uma PA, cujos valores constam do
quadro a seguir, considerando-se uma taxa de 3% a.m.

.....0......	.....1.....	.....2.....	.....3......	.....4.....	.....5.....	....6.....	....7.....	.....8.....	.....9.....	.....10.....
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...........	...........	...........	............	............	5.000,00	............	............	............	............	............
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...........	7.000,00	...........	............	............	............	............	............	............	7.000,00	............
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R.: FV = 71.462,82; PV = 53.174,83.

Um abraço.

jota-r escreveu:Olá.

Calcular o montante e o valor atual de 10 aplicações mensais , variáveis de acordo com uma PA, cujos valores constam do
quadro a seguir, considerando-se uma taxa de 3% a.m.

.....0......	.....1.....	.....2.....	.....3......	.....4.....	.....5.....	....6.....	....7.....	.....8.....	.....9.....	.....10.....
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...........	7.000,00	...........	............	............	............	............	............	............	7.000,00	............
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R.: FV = 71.462,82; PV = 53.174,83.

Um abraço.

jota-r, a série inicia decrescente e termina crescente.
Por isto vou resolver provisoriamente pelo método "braçal":

1 - 7000 x 1,03 = 7210
2 - 6500 + 7210 = 13710 => 13710 x 1,03 = 14121,3
3 - 6000 + 14121,3 = 20121,3 => 20121,3 x 1,03 = 20724,939
4 - 5500 + 20724,939 = 26224,939 => 26224,939 x 1,03 = 27011,68717
5 - 5000 + 27011,68717 = 32011,68717 => 32011,68717 x 1,03 = 32972,03779
6 - 5500 + 32972,03779 = 38472,03779 => 38472,03779 x 1,03 = 39626,19892
7 - 6000 + 39626,19892 = 45626,19892 => 45626,19892 x 1,03 = 46994,98489
8 - 6500 + 46994,98489 = 53494,98489 => 53494,98489 x 1,03 = 55099,83443
9 - 7000 + 55099,83443 = 62099,83443 => 62099,83443 x 1,03 = 63962,82947
10- 7500 + 63962,82947 = 71462,82947

FV ≈ $ 71.462,83

Sds.

jota-r escreveu:Olá.

Calcular o montante e o valor atual de 10 aplicações mensais , variáveis de acordo com uma PA, cujos valores constam do
quadro a seguir, considerando-se uma taxa de 3% a.m.

.....0......	.....1.....	.....2.....	.....3......	.....4.....	.....5.....	....6.....	....7.....	.....8.....	.....9.....	.....10.....
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...........	7.000,00	...........	............	............	............	............	............	............	7.000,00	............
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R.: FV = 71.462,82; PV = 53.174,83.

Um abraço.

Aqui está a solução analítica:

a) 1ª parte: do mês 1 ao mês 5 a série é PA decrescente postecipada.
b) 2ª parte: do mês 6 ao mês 10 a série é PA crescente postecipada.

Os cálculos são distintos:

1- FV₁ = montante da 1ª parte com i=0,03; p₁=7000 e g=500 do mês 1 ao 5.
2- FV₂ = FV₁(1+i)⁵ = capitalização de FV₁ do mês 6 ao 10.
3- FV₃ = montante da 2ª parte com i=0,03; p₂=5500; g=500 do mês 6 ao 10
4- FV = FV₂ + FV₃ = montante total.

1 - Montante da série em PA decrescente do 1º ao 5º mês:

FV_1 = p_1 \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]

Substituindo valores:

FV_1 =  7000 \times \left[ \frac{(1+0,03)^5 -1}{0,03}\right] - \frac{500}{0,03} \cdot \left[ \frac{(1+0,03)^5 - 1}{0,03} - 5 \right]

FV_1 = 7000 \times 5,30913581 - 16666,66667 \times 0,30913581

FV_1 = 37163,95067 - 5152,2635

FV_1 = 32011,6872

2 - Capitalização de FV₁ do 6º ao 10º mês:

FV_2 = FV_1 \cdot (1+i)^n

Substituindo valores:

FV_2 = 32011,6872 \times (1+0,03)^5

FV_2 = 32011,6872 \times 1,159274074

FV_2 = 37110,31905

3 - Montante da série em PA crescente do 6º ao 10º mês:

FV_3 =  p_2 \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] + \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]

Substituindo valores:

FV_3 =  5500 \times \left[ \frac{(1+0,03)^5 -1}{0,03}\right] + \frac{500}{0,03} \times \left[\frac{(1+0,03)^5 - 1}{0,03} - 5 \right]

FV_3 = 5500 \times 5,3091 +  16666,6667 \times 0,3091

FV_3 = 29200,24696 +  5152,2635

FV_3 = 34352,51047

4 - Motante total:

FV = FV_2 + FV_3

Substituindo valores:

FV = 37110,31905 + 34352,51047

\boxed{ \bf{ FV \approx \$ \; 71.462,83 }}

Saudações natalinas.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:Olá.

Calcular o montante e o valor atual de 10 aplicações mensais , variáveis de acordo com uma PA, cujos valores constam do
quadro a seguir, considerando-se uma taxa de 3% a.m.

.....0......	.....1.....	.....2.....	.....3......	.....4.....	.....5.....	....6.....	....7.....	.....8.....	.....9.....	.....10.....
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R.: FV = 71.462,82; PV = 53.174,83.

Um abraço.

Aqui está a solução analítica:

a) 1ª parte: do mês 1 ao mês 5 a série é PA decrescente postecipada.
b) 2ª parte: do mês 6 ao mês 10 a série é PA crescente postecipada.

Os cálculos são distintos:

1- FV₁ = montante da 1ª parte com i=0,03; p₁=7000 e g=500 do mês 1 ao 5.
2- FV₂ = FV₁(1+i)⁵ = capitalização de FV₁ do mês 6 ao 10.
3- FV₃ = montante da 2ª parte com i=0,03; p₂=5500; g=500 do mês 6 ao 10
4- FV = FV₂ + FV₃ = montante total.

1 - Montante da série em PA decrescente do 1º ao 5º mês:

FV_1 = p_1 \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]

Substituindo valores:

FV_1 =  7000 \times \left[ \frac{(1+0,03)^5 -1}{0,03}\right] - \frac{500}{0,03} \cdot \left[ \frac{(1+0,03)^5 - 1}{0,03} - 5 \right]

FV_1 = 7000 \times 5,30913581 - 16666,66667 \times 0,30913581

FV_1 = 37163,95067 - 5152,2635

FV_1 = 32011,6872

2 - Capitalização de FV₁ do 6º ao 10º mês:

FV_2 = FV_1 \cdot (1+i)^n

Substituindo valores:

FV_2 = 32011,6872 \times (1+0,03)^5

FV_2 = 32011,6872 \times 1,159274074

FV_2 = 37110,31905

3 - Montante da série em PA crescente do 6º ao 10º mês:

FV_3 =  p_2 \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] + \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]

Substituindo valores:

FV_3 =  5500 \times \left[ \frac{(1+0,03)^5 -1}{0,03}\right] + \frac{500}{0,03} \times \left[\frac{(1+0,03)^5 - 1}{0,03} - 5 \right]

FV_3 = 5500 \times 5,3091 +  16666,6667 \times 0,3091

FV_3 = 29200,24696 +  5152,2635

FV_3 = 34352,51047

4 - Motante total:

FV = FV_2 + FV_3

Substituindo valores:

FV = 37110,31905 + 34352,51047

\boxed{ \bf{ FV \approx \$ \; 71.462,83 }}

Saudações natalinas.

Solução muito boa. Parabéns. Depois apresento a minha.

Ótimo Natal para você e os seus.

jota-r escreveu:Olá.

Calcular o montante e o valor atual de 10 aplicações mensais , variáveis de acordo com uma PA, cujos valores constam do
quadro a seguir, considerando-se uma taxa de 3% a.m.

.....0......	.....1.....	.....2.....	.....3......	.....4.....	.....5.....	....6.....	....7.....	.....8.....	.....9.....	.....10.....
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R.: FV = 71.462,82; PV = 53.174,83.

Um abraço.

Para cálculo do montate do problema, vou dividí-lo em três séries distintas, quais sejam:

. Série uniforme com 10 termos de $ 5.000,00;

. Série em gradiente decrescente, de 4 termos, com G (razão de decrescimento) = 500,00; e

. Série em gradiente crescente, de 5 termos, com G (razão de crescimento) = 500,00.

Os dados a serem trabalhados são os seguintes:

Série uniforme: R (1ª parcela); n1 = 10 meses; i = 3% a.m.: FV1 = ?

Série em gradiente decrescente: G = 500,00; n2 = 4 meses; k (carência) = 6 meses; i = 3% a.m.; FV2 = ?

Série em gradiente crescente: G = 500,00; n3 = 5 meses; i = 3% a.m.; FV3 = ?


Solução:

FV1 = R*[(1+î)^n1-1]/i
---->
FV1 = 5000*[(1+0,03)^10-1]/0,03
---->
FV1 = 5000*[1,03^10-1]/0,03
---->
FV1 = 5000*0,3439164/0,03
---->
FV1 = 57319,4000000


FV2 = (G/i)*(1+i)^k*{n2*(1+i)^n2 - [(1+i)^n2-1]/i}
---->
FV2 = (500/0,03)*(1+0,03)^6*{4*(1+0,03)^4 - [(1+0,03)^4-1]/0,03}
---->
FV2 = 16666,666667*1,194052*{4*1,03^4 - [1,03^4-1]/0,03}
---->
FV2 = 19900,866667*{4,502035 - 0,125509/0,03}
---->
FV2 = 19900,866667*{4,502035 - 4,183633}
---->
FV2 = 19900,866667*0,318402
---->
FV2 = 6336,475749


FV3 = (G/i)*{[1+i)*[(1+i)^n3 -1]/i - n3}
---->
FV3 = (500/0,03)*{[1+0,03)*[(1+0,03^5 -1]/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{1,03*[1,03^5 -1]/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{1,03*0,159274/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{5,468407 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*0,468407
---->
FV3 = 7806,783333

FV total = FV1 + FV2 + FV3 = 57319,4000000 + 6336,475749 + 7806,783333 = 71.462,66


Para cálculo do valor atual, basta dividir o valor do montante por (1+i)^10. Logo:

PV = 71.462,66/(1+i)^10
---->
PV = 71.462,66/1,03^10
---->
PV = 71.462,66/1,34392
---->
PV = 53.174,79


Um abraço.

jota-r escreveu:
Para cálculo do montate do problema, vou dividí-lo em três séries distintas, quais sejam:

. Série uniforme com 10 termos de $ 5.000,00;

. Série em gradiente decrescente, de 4 termos, com G (razão de decrescimento) = 500,00; e

. Série em gradiente crescente, de 5 termos, com G (razão de crescimento) = 500,00.

Os dados a serem trabalhados são os seguintes:

Série uniforme: R (1ª parcela); n1 = 10 meses; i = 3% a.m.: FV1 = ?

Série em gradiente decrescente: G = 500,00; n2 = 4 meses; k (carência) = 6 meses; i = 3% a.m.; FV2 = ?

Série em gradiente crescente: G = 500,00; n3 = 5 meses; i = 3% a.m.; FV3 = ?


Solução:

FV1 = R*[(1+î)^n1-1]/i
---->
FV1 = 5000*[(1+0,03)^10-1]/0,03
---->
FV1 = 5000*[1,03^10-1]/0,03
---->
FV1 = 5000*0,3439164/0,03
---->
FV1 = 57319,4000000


FV2 = (G/i)*(1+i)^k*{n2*(1+i)^n2 - [(1+i)^n2-1]/i}
---->
FV2 = (500/0,03)*(1+0,03)^6*{4*(1+0,03)^4 - [(1+0,03)^4-1]/0,03}
---->
FV2 = 16666,666667*1,194052*{4*1,03^4 - [1,03^4-1]/0,03}
---->
FV2 = 19900,866667*{4,502035 - 0,125509/0,03}
---->
FV2 = 19900,866667*{4,502035 - 4,183633}
---->
FV2 = 19900,866667*0,318402
---->
FV2 = 6336,475749


FV3 = (G/i)*{[1+i)*[(1+i)^n3 -1]/i - n3}
---->
FV3 = (500/0,03)*{[1+0,03)*[(1+0,03^5 -1]/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{1,03*[1,03^5 -1]/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{1,03*0,159274/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{5,468407 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*0,468407
---->
FV3 = 7806,783333

FV total = FV1 + FV2 + FV3 = 57319,4000000 + 6336,475749 + 7806,783333 = 71.462,66


Para cálculo do valor atual, basta dividir o valor do montante por (1+i)^10. Logo:

PV = 71.462,66/(1+i)^10
---->
PV = 71.462,66/1,03^10
---->
PV = 71.462,66/1,34392
---->
PV = 53.174,79

Um abraço.

Solução criativa. Demonstra habilidade. Valeu.
Sds.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
Para cálculo do montate do problema, vou dividí-lo em três séries distintas, quais sejam:

. Série uniforme com 10 termos de $ 5.000,00;

. Série em gradiente decrescente, de 4 termos, com G (razão de decrescimento) = 500,00; e

. Série em gradiente crescente, de 5 termos, com G (razão de crescimento) = 500,00.

Os dados a serem trabalhados são os seguintes:

Série uniforme: R (1ª parcela); n1 = 10 meses; i = 3% a.m.: FV1 = ?

Série em gradiente decrescente: G = 500,00; n2 = 4 meses; k (carência) = 6 meses; i = 3% a.m.; FV2 = ?

Série em gradiente crescente: G = 500,00; n3 = 5 meses; i = 3% a.m.; FV3 = ?


Solução:

FV1 = R*[(1+î)^n1-1]/i
---->
FV1 = 5000*[(1+0,03)^10-1]/0,03
---->
FV1 = 5000*[1,03^10-1]/0,03
---->
FV1 = 5000*0,3439164/0,03
---->
FV1 = 57319,4000000


FV2 = (G/i)*(1+i)^k*{n2*(1+i)^n2 - [(1+i)^n2-1]/i}
---->
FV2 = (500/0,03)*(1+0,03)^6*{4*(1+0,03)^4 - [(1+0,03)^4-1]/0,03}
---->
FV2 = 16666,666667*1,194052*{4*1,03^4 - [1,03^4-1]/0,03}
---->
FV2 = 19900,866667*{4,502035 - 0,125509/0,03}
---->
FV2 = 19900,866667*{4,502035 - 4,183633}
---->
FV2 = 19900,866667*0,318402
---->
FV2 = 6336,475749


FV3 = (G/i)*{[1+i)*[(1+i)^n3 -1]/i - n3}
---->
FV3 = (500/0,03)*{[1+0,03)*[(1+0,03^5 -1]/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{1,03*[1,03^5 -1]/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{1,03*0,159274/0,03 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*{5,468407 - 5}
---->
FV3 = 16666,666667*0,468407
---->
FV3 = 7806,783333

FV total = FV1 + FV2 + FV3 = 57319,4000000 + 6336,475749 + 7806,783333 = 71.462,66


Para cálculo do valor atual, basta dividir o valor do montante por (1+i)^10. Logo:

PV = 71.462,66/(1+i)^10
---->
PV = 71.462,66/1,03^10
---->
PV = 71.462,66/1,34392
---->
PV = 53.174,79

Um abraço.

Solução criativa. Demonstra habilidade. Valeu.
Sds.

O velho livro do Prof. José Dutra V. Sobrinho traz este exercício resolvido, porém com o uso de Tabelas Financeiras. Mas captei a dica de resolução.