logaritimos

evandronunes escreveu:Suponha que exista um k real, tal que 

\frac{a\left ( b+c-a \right )}{\log a}=\frac{b\left ( a+c-b \right )}{\log b}=\frac{c\left ( a+b-c \right )}{\log c}=k

se, e somente se, a^{b}\cdot b^{a}=c^{b}\cdot b^{c}=a^{c}\cdot c^{a}.

Assim, temos:

\frac{a\left ( b+c-a \right )}{\log a}=k \ \ \Rightarrow  \log a=\frac{a\left ( b+c-a \right )}{k} \ \ \Rightarrow


\Rightarrow b \cdot \log a=\frac{b \cdot a\left ( b+c-a \right )}{k} \ \ \Rightarrow \ \log a^b=\frac{ab\left ( b+c-a \right )}{k} \ \ \ (1) 

De modo análogo, encontra-se:

\log a^c=\frac{ac\left ( b+c-a \right )}{k} \ \ \ (2) 

\log b^a=\frac{ab\left ( a+c-b \right )}{k} \ \ \ (3) 

\log b^c=\frac{bc\left ( a+c-b \right )}{k} \ \ \ (4) 

\log c^a=\frac{ac\left ( a+b-c \right )}{k} \ \ \ (5) 

\log c^b=\frac{bc\left ( a+b-c \right )}{k} \ \ \ (6)

De (1) + (3): 

\log a^b+\log b^a=\frac{ab\left ( b+c-a \right )}{k}+\frac{ab\left ( a+c-b \right )}{k} \ \ \  \Rightarrow \log{a^bb^a} \ \ =\frac{abc}{k} \ \ \ (A)  

De (2) + (5): 

\log{a^c c^a } \ \ =\frac{abc}{k} \ \ \ (B)

E de (4) + (6):

\log{b^c c^b} \ \ =\frac{abc}{k} \ \ \ (C)

Portanto, de (A), (B) e (C), temos que a^{b}\cdot b^{a}=c^{b}\cdot b^{c}=a^{c}\cdot c^{a}, logo existe k.