(Fuvest) Circunferências tangentes

Acho que fazendo pelo seu modo, nós, assim, teríamos que afirmar que o segmento de reta (raio) do ponto (-1, 0) a reta que passa pelo centro da circunferência de centro em (-1/2, 4) com o ponto (0, 3) é perpendicular.

Como assim ponto perpendicular à reta? Não entendi direito a sua frase!

Circunferência C passa em A(0, 3) e B(-1, 0)

Centro da outra circunferência: D(-1/2, 4)

Ponto de tangência entre elas: A(0, 3)

Distância DA é igual ao raio r da outra circunferência:

r² = (xD - xA)² + (yD - yA)²

r² = (- 1/2 - 0)² + (4 - 3)² 

r² = 1/4 + 1 ---> r² = 5/4 ---> r = √5/2


Acho que existe erro no gabarito ou erro no enunciado.

Élcio, não há erros.

Para essa questão, eu gostaria que alguém resolvesse pra mim achando as equações de duas retas que passam pelo centro, pra depois achar as coordenadas do centro e, por fim, achar o raio.

Reformulei a frase!

De uma olhada nesse meu gráfico.

A(0, 3) ---> B(-1, 0) ---> D(-1/2, 4) ---> C(xC , yC)

Equação da reta que passa por A(0, 3) e D(-1/2, 4):

m = (4 - 3)/(- 1/2 - 0) ---> m = - 2

y - 3 = - 2.(x - 0) ---> y = - 2.x + 3 ---> I

Reta que passa por B(-1, 0) e C(xC, yC) ---> m = 1/2

y - 0 = (1/2).(x + 1) --> y = (1/2).x + 1/2 ---> II

II = I ---> (1/2).xC + 1/2 = - 2.xC + 3 ---> xC = 1 ---> yC = 1

Circunferência de centro em C:

(x+1/2) + (y-4) = R^2

R^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2
R^2 = (-1/2-0)^2 + (4-3)^2
R^2 = 1,25

Reta que passa pelo centro da circunferência de centro C com o ponto A:

m = 4-3/-1/2 = -2

(y - yo) = m(x - xo)
(y - 3) = -2x
y = -2x +3 (Equação Reduzida da Reta)

x + y/2 - 3/2 = 0 (Equação Geral da Reta)


Agora podemos calcular a reta perpendicular que passa pelo ponto B e cruza a reta que calculamos.

m: mr1 . mr2 = -1
-2 . x = -1
x = 1/2

(y - yo) = m(x - xo)
(y - 0) = 1/2x + 1/2
y = 1/2x + 1/2 (Equação Reduzida da Reta)

-x +2y -1 = 0 (Equação Geral da Reta)

Agora podemos encontrar o ponto de encontro dessas duas retas que seria o centro da circunferência que queremos descobrir.

Sistema: -x +2y -1 = 0
x +y/2 -3/2 = 0

(Somando) ---> 5/2y = 5/2
y = 1

Substituindo y=1 na primeira equação:

-x +2.1 -1 = 0
x = 1

Centro da circunferência é (1, 1)

Ah, bem legal esse jeito de resolver. Obrigada, gente!

Augusto, você estuda essa parte de circunferências, retas tangentes, etc, por algum lugar específico? Todo ano caem questões de circunferência bem difíceis na Fuvest. Essa questão foi de 2011; a de 2010 podia ser resolvida por essa mesma técnica, e foi mais difícil ainda. Queria achar mais questões do tipo pra treinar, senão vou ter que chutar a questão de circunferência da Fuvest, não consigo pensar e fazer tudo isso em 3~5 minutos kkkk

Elementos da matemática do Rufino. Vol4